MATEMANIJA

Eeh ljudiiii..evo ovako hitno mi treba jedan dokaz za ispit,, imam ovako:
[dispmath]a^m\cdot a^n=a^{m+n}[/dispmath] to prvo pretpostavim za [inlmath]n-1[/inlmath] da je to istinito, pa imam da je [dispmath]a^m\cdot a^{n-1}=a^{m+(n-1)}[/dispmath]
Onda zbog asocijativnosti imam da je [dispmath]a^m\cdot a^n=a^m\left(a^{n-1}\cdot a\right)=\left(a^m\cdot a^{n-1}\right)a=a^{m+(n-1)}\cdot a=a^{m+n}.[/dispmath]
I sad trebam jos dokazati da je [dispmath]\left(a^m\right)^n=a^{mn}[/dispmath] a ne znam kako :/

Možeš takođe indukcijom, isto kao što si dokazivala i [inlmath]a^m\cdot a^n=a^{m+n}[/inlmath]. Dakle, prvo pokažeš da tvrdnja važi za [inlmath]n=1[/inlmath], pa zatim, pretpostavljajući da važi za [inlmath]n-1[/inlmath], tj. [inlmath]\left(a^m\right)^{n-1}[/inlmath], dokažeš da važi i za [inlmath]n[/inlmath]. Pri tome, koristiš već dokazanu tvrdnju da je [inlmath]a^m\cdot a^n=a^{m+n}[/inlmath].

Dakle, prvo pokažeš da tvrdnja važi za [inlmath]n=1[/inlmath],

dobijem da je [inlmath]\left(a^m\right)^1=a^m[/inlmath]

pa zatim, pretpostavljajući da važi za [inlmath]n-1[/inlmath], tj. [inlmath]\left(a^m\right)^{n-1}[/inlmath]

Zatim za [inlmath]n-1[/inlmath]: [inlmath]\left(a^m\right)^{n-1}[/inlmath] (kao sto si naveo)

dokažeš da važi i za [inlmath]n[/inlmath]. Pri tome, koristiš već dokazanu tvrdnju da je [inlmath]a^m\cdot a^n=a^{m+n}[/inlmath].

Eh sad kako ovo dokazati ://

[dispmath]\left(a^m\right)^n=\left(a^m\right)^{n-1+1}=\left(a^m\right)^{n-1}\cdot a^m=\cdots[/dispmath]

Daniel je napisao:[dispmath]\left(a^m\right)^n=\left(a^m\right)^{n-1+1}=\left(a^m\right)^{n-1}\cdot a^m=\cdots[/dispmath]

Hmm sta onda dalje, kako da to izmnozim ili sta, kako god pokusam ne koristim prethodno dokazanu tvrdnju ://.. ja pokusam to kao da stavim [dispmath]a^{m(n-1)}\cdot a^m[/dispmath] ali ne ide :/

Evo dokaz indukcijom:
1. Prvo dokažeš za [inlmath]k=1[/inlmath]:
[dispmath]\left(a^m\right)^1=a^{m\cdot1}=a^m[/dispmath]

2. Dokažeš da ako je tvrdnja tačna za neko [inlmath]k[/inlmath] iz toga sledi da je tvrdnja tačna i za [inlmath]k+1[/inlmath].
[dispmath]\left(a^m\right)^k=a^{m\cdot k}\Rightarrow[/dispmath]
[dispmath]\left(a^m\right)^{k+1}=\left(a^m\right)^k\cdot\left(a^m\right)^1=a^{mk}\cdot a^m=a^{mk+m}=\enclose{box}{a^{m(k+1)}}[/dispmath]

Da li je dalje ovako:
[dispmath]a^{m(n-1)}\cdot a^m=a^{m(n-1)+1}=a^{mn-m+1}?[/dispmath] i kud dalje :/

[inlmath]a^{m\left(n-1\right)}\cdot a^m[/inlmath] nije jednako [inlmath]a^{m\left(n-1\right)+1}[/inlmath]. Inače, ubavic ti je već izveo kompletan dokaz.

Pitanje o skalarnom proizvodu ne spada u rubriku „Algebra“. Premestio sam ga u rubriku „Vektori“.

Imam i ja grešku u poslednjem postu, ali ne mogu da je ispravim. U pretposlenjem koraku, umesto [inlmath]a^{mk}\cdot a^m=a^{\color{red}mk\cdot m}[/inlmath] treba [inlmath]=a^{mk+m}[/inlmath]. Još se mučim s Latex-om.

Evo ispravio sam je ja, očigledno je da je greška nastala kad si prebacivao u Latex (tj. da je čisto tehničkog tipa), jer nije bila preneta u naredni (poslednji) korak.