MATEMANIJA

Eeh ljudiiii..evo ovako hitno mi treba jedan dokaz za ispit,, imam ovako:
[dispmath]a^m\cdot a^n=a^{m+n}[/dispmath] to prvo pretpostavim za [inlmath]n-1[/inlmath] da je to istinito, pa imam da je [dispmath]a^m\cdot a^{n-1}=a^{m+(n-1)}[/dispmath]
Onda zbog asocijativnosti imam da je [dispmath]a^m\cdot a^n=a^m\left(a^{n-1}\cdot a\right)=\left(a^m\cdot a^{n-1}\right)a=a^{m+(n-1)}\cdot a=a^{m+n}.[/dispmath]
I sad trebam jos dokazati da je [dispmath]\left(a^m\right)^n=a^{mn}[/dispmath] a ne znam kako :/

Možeš takođe indukcijom, isto kao što si dokazivala i [inlmath]a^m\cdot a^n=a^{m+n}[/inlmath]. Dakle, prvo pokažeš da tvrdnja važi za [inlmath]n=1[/inlmath], pa zatim, pretpostavljajući da važi za [inlmath]n-1[/inlmath], tj. [inlmath]\left(a^m\right)^{n-1}[/inlmath], dokažeš da važi i za [inlmath]n[/inlmath]. Pri tome, koristiš već dokazanu tvrdnju da je [inlmath]a^m\cdot a^n=a^{m+n}[/inlmath].

Dakle, prvo pokažeš da tvrdnja važi za [inlmath]n=1[/inlmath],

dobijem da je [inlmath]\left(a^m\right)^1=a^m[/inlmath]

pa zatim, pretpostavljajući da važi za [inlmath]n-1[/inlmath], tj. [inlmath]\left(a^m\right)^{n-1}[/inlmath]

Zatim za [inlmath]n-1[/inlmath]: [inlmath]\left(a^m\right)^{n-1}[/inlmath] (kao sto si naveo)

dokažeš da važi i za [inlmath]n[/inlmath]. Pri tome, koristiš već dokazanu tvrdnju da je [inlmath]a^m\cdot a^n=a^{m+n}[/inlmath].

Eh sad kako ovo dokazati ://

[dispmath]\left(a^m\right)^n=\left(a^m\right)^{n-1+1}=\left(a^m\right)^{n-1}\cdot a^m=\cdots[/dispmath]

Daniel je napisao:[dispmath]\left(a^m\right)^n=\left(a^m\right)^{n-1+1}=\left(a^m\right)^{n-1}\cdot a^m=\cdots[/dispmath]

Hmm sta onda dalje, kako da to izmnozim ili sta, kako god pokusam ne koristim prethodno dokazanu tvrdnju ://.. ja pokusam to kao da stavim [dispmath]a^{m(n-1)}\cdot a^m[/dispmath] ali ne ide :/

Evo dokaz indukcijom:
1. Prvo dokažeš za [inlmath]k=1[/inlmath]:
[dispmath]\left(a^m\right)^1=a^{m\cdot1}=a^m[/dispmath]

2. Dokažeš da ako je tvrdnja tačna za neko [inlmath]k[/inlmath] iz toga sledi da je tvrdnja tačna i za [inlmath]k+1[/inlmath].
[dispmath]\left(a^m\right)^k=a^{m\cdot k}\Rightarrow[/dispmath]
[dispmath]\left(a^m\right)^{k+1}=\left(a^m\right)^k\cdot\left(a^m\right)^1=a^{mk}\cdot a^m=a^{mk+m}=\enclose{box}{a^{m(k+1)}}[/dispmath]

Da li je dalje ovako:
[dispmath]a^{m(n-1)}\cdot a^m=a^{m(n-1)+1}=a^{mn-m+1}?[/dispmath] i kud dalje :/

[inlmath]a^{m\left(n-1\right)}\cdot a^m[/inlmath] nije jednako [inlmath]a^{m\left(n-1\right)+1}[/inlmath]. Inače, ubavic ti je već izveo kompletan dokaz.

Pitanje o skalarnom proizvodu ne spada u rubriku „Algebra“. Premestio sam ga u rubriku „Vektori“.

Imam i ja grešku u poslednjem postu, ali ne mogu da je ispravim. U pretposlenjem koraku, umesto [inlmath]a^{mk}\cdot a^m=a^{\color{red}mk\cdot m}[/inlmath] treba [inlmath]=a^{mk+m}[/inlmath]. Još se mučim s Latex-om.

Evo ispravio sam je ja, očigledno je da je greška nastala kad si prebacivao u Latex (tj. da je čisto tehničkog tipa), jer nije bila preneta u naredni (poslednji) korak.

Daniel je napisao:[inlmath]a^{m\left(n-1\right)}\cdot a^m[/inlmath] nije jednako [inlmath]a^{m\left(n-1\right)+1}[/inlmath]. Inače, ubavic ti je već izveo kompletan dokaz.

Uredu uredu, ali po Ubavicevom postu, to bi onda znacilo da je [dispmath]a^{m(n+1)},[/dispmath] a kako da dobijem da je to [dispmath]a^{mn}?[/dispmath] i zasto je Ubavic uzimao da dokaze tvrdnju za [inlmath]n+1[/inlmath], zasto ne za [inlmath]n-1[/inlmath], kao sto sam ja radila u prvom dokazu? Kako da znam kad da primijenim koji?

Da li moze ovako:
[dispmath]a^{m(n-1)}\cdot a^m=a^{m(n-1)+m}=a^{mn-m+m}=a^{mn}[/dispmath]

Očigledno je da ne shvataš baš najbolje dokaz indukcijom. Prvo što radiš kada pokušavaš da dokažeš da je neka tvrdnja tačna za sve prirodne brojeve je da pokažeš da je tvrdnja tačna za [inlmath]k=1[/inlmath] tj [inlmath]T(1)[/inlmath] . Sledeći korak je da predpostaviš da je tvrdnja tačna za bilo koje [inlmath]k[/inlmath] i iz toga zaključiš da je tvrdnja tačna i za [inlmath]k+1[/inlmath]. Jer ako je tvrdnja tačna za [inlmath]k=1[/inlmath] i za svako [inlmath]k+1[/inlmath] onda je tvrdnja tačna i za [inlmath]2[/inlmath], ako je tvrdnja tačna i za [inlmath]k=2[/inlmath] i za [inlmath]k+1[/inlmath] onda je tvrdnja tačna i za [inlmath]3[/inlmath], ako je tvrdnja tačna za [inlmath]3[/inlmath]... Izraženo jezikom matematičke logike:
[dispmath](T(1)\land ((\forall k\ge 1)T(k)\Rightarrow T(k+1)))\Rightarrow(\forall n\ge 1)T(n)[/dispmath]
Nadam se da shvataš sad kako ovaj dokaz funkcioniše.

Posmatraj matematičku indukciju ovako:

indira-aa je napisao:zasto je Ubavic uzimao da dokaze tvrdnju za [inlmath]n+1[/inlmath], zasto ne za [inlmath]n-1[/inlmath], kao sto sam ja radila u prvom dokazu?

Ako malo razmisliš, shvatićeš da je potpuno svejedno da li uvedeš pretpostavku za [inlmath]n-1[/inlmath] pa dokazuješ za [inlmath]n[/inlmath], ili uvedeš pretpostavku za [inlmath]n[/inlmath] pa dokazuješ za [inlmath]n+1[/inlmath]. Princip je u tome da, ako pretpostaviš da tvrdnja važi za neki prirodan broj (bio to [inlmath]n-1[/inlmath] ili [inlmath]n[/inlmath]), tada će važiti i za prvi sledeći prirodan broj.
Ustaljeno je da se pretpostavka postavlja za [inlmath]n[/inlmath] i dokazuje za [inlmath]n+1[/inlmath], kao što je ubavic radio, ali pošto ste vi radili uvodeći pretpostavku za [inlmath]n-1[/inlmath] pa dokazujući za [inlmath]n[/inlmath], takav postupak sam ti i ja prikazao čisto da bih se držao vašeg načina, ali zaista je potpuno svejedno.