MATEMANIJA

Zadaci sa "celim delom" su uvek zanimljivi, bar meni . Evo jednog takvog zadatka:

Zadatak: Dokazati da jednačina [inlmath]\left\lfloor x\right\rfloor+\left\lfloor2x\right\rfloor+\left\lfloor4x\right\rfloor+\left\lfloor8x\right\rfloor+\left\lfloor16x\right\rfloor+\left\lfloor32x\right\rfloor=12345[/inlmath], nema rešenja u skupu realnih brojeva.
Časopis Tangetna (broj: 84/4; godina: 2015/2016, Nagradni zadaci)

Moj način (možda je previše komplikovan i postupan, ali je efikasan):

[inlmath]\left\lfloor x\right\rfloor=c[/inlmath], ceo deo
[inlmath]x=c+d[/inlmath], [inlmath]d[/inlmath] je preostali deo broja [inlmath]x[/inlmath] i [inlmath]0\le d<1[/inlmath]

Razmatraćemo sledećih [inlmath]6[/inlmath] mogućnosti:
[dispmath]\begin{align}
&1)\;0\le d<\frac{1}{32}\\
\\
&2)\;\frac{1}{32}\le d<\frac{1}{16}\\
\\
&3)\;\frac{1}{16}\le d<\frac{1}{8}\\
\\
&4)\;\frac{1}{8}\le d<\frac{1}{4}\\
\\
&5)\;\frac{1}{4}\le d<\frac{1}{2}\\
\\
&6)\;\frac{1}{2}\le d<1
\end{align}[/dispmath] Nećemo uzimati u obzir mogućnost da je [inlmath]x[/inlmath], [inlmath]2x[/inlmath], [inlmath]4x[/inlmath], ... manje od nule, jer bi i njihovi celi delovi u zbiru bili manji od nule, što odmah iz jednačine vidimo da ne važi; tj. već znamo da u skupu negativnih realnih brojeva jednačina nema rešenja. Dokazivaćemo za skup pozitivnih realnih brojeva.

[inlmath]1)\;0\le d<\frac{1}{32}[/inlmath] Ako je [inlmath]d[/inlmath] u ovom intervalu polazna jednačina će izgledati ovako:
[dispmath]c+2c+4c+8c+16c+32c=12345[/dispmath] [inlmath]63c=12345[/inlmath] (očigledno, [inlmath]c[/inlmath] ovde nije ceo broj, pa smo dokazali da polazna jednačina nema rešenja kada je [inlmath]d[/inlmath] u ovom intervalu).

[inlmath]2)\;\frac{1}{32}\le d<\frac{1}{16}[/inlmath]
[dispmath]c+2c+4c+8c+16c+32c+1=12345[/dispmath] [inlmath]63c=12344[/inlmath] (ni ovde se za [inlmath]c[/inlmath] ne dobija ceo broj, i na ovom intervalu za [inlmath]d[/inlmath] jednačina nema rešenja).

[inlmath]3)\;\frac{1}{16}\le d<\frac{1}{8}[/inlmath]
[dispmath]c+2c+4c+8c+16c+1+32c+*=12345[/dispmath] (na mestu [inlmath]*[/inlmath] mogu stajati brojevi [inlmath]1[/inlmath], [inlmath]2[/inlmath] ili [inlmath]3[/inlmath]; jer je [inlmath]d[/inlmath] na datom intervalu, počev od [inlmath]\frac{2}{32}[/inlmath] do [inlmath]\frac{4}{32}[/inlmath])
To je tri „podmogućnosti“ za mogućnost [inlmath]3[/inlmath] i ni jedna od njih rešavanjem ne daje ceo broj za [inlmath]c[/inlmath].

Naime, svaki put se pri rešavanju broj nešto manji od [inlmath]12345[/inlmath] deli sa [inlmath]63[/inlmath]. Da bismo olakšali dalje rešavanje, pošto će biti sve više „podmogućnosti“, lako nalazimo da je prvi broj, koji je manji od [inlmath]12345[/inlmath], a deljiv sa [inlmath]63[/inlmath] – broj [inlmath]12285[/inlmath] (tj. [inlmath]12345-60[/inlmath]). Kada god budemo dobili različito od [inlmath]60[/inlmath] (odnosno od [inlmath]123[/inlmath], [inlmath]186[/inlmath], itd.) sa leve strane ([inlmath]63c+..^{<60}..[/inlmath]), znaćemo da [inlmath]c[/inlmath] nije ceo broj.

[inlmath]4)\;\frac{1}{8}\le d<\frac{1}{4}[/inlmath] Polazna jednačina u ovom slučaju izgledaće ovako:
[dispmath]c+2c+4c+8c+1+16c+*+32c+**=12345[/dispmath] Umesto [inlmath]*[/inlmath] može [inlmath]2[/inlmath] ili [inlmath]3[/inlmath], a umesto [inlmath]**[/inlmath] [inlmath]4[/inlmath], [inlmath]5[/inlmath], [inlmath]6[/inlmath] ili [inlmath]7[/inlmath]
To je ukupno [inlmath]2\cdot4=8[/inlmath] podmogućnosti. „Najveća“ od njih je [inlmath]63c+(1+3+7)=12345[/inlmath], tj. [inlmath]63c+11=12345[/inlmath], i po gore utvrđenom sistemu, [inlmath]11[/inlmath] je manje od [inlmath]60[/inlmath], [inlmath]c[/inlmath] ni ovde neće biti ceo broj, kao ni za ostalih [inlmath]7[/inlmath] podmogućnosti.

[inlmath]5)\;\frac{1}{4}\le d<\frac{1}{2}[/inlmath]
[dispmath]c+2c+4c+1+8c+*+16c+**+32c+***=12345[/dispmath] [inlmath]*[/inlmath] : [inlmath]2[/inlmath] ili [inlmath]3[/inlmath], [inlmath]**[/inlmath] : [inlmath]4[/inlmath], [inlmath]5[/inlmath], [inlmath]6[/inlmath] ili [inlmath]7[/inlmath], [inlmath]***[/inlmath] : [inlmath]8[/inlmath], [inlmath]9[/inlmath], [inlmath]10[/inlmath], [inlmath]11[/inlmath], [inlmath]12[/inlmath], [inlmath]13[/inlmath], [inlmath]14[/inlmath] ili [inlmath]15[/inlmath]

Ukupno: [inlmath]2\cdot4\cdot8=64[/inlmath] podmogućnosti; a „najveća“ je [inlmath]63c+26=12345[/inlmath]. Za nju kao ni za preostale [inlmath]63[/inlmath] neće se dobiti ceo broj za [inlmath]c[/inlmath].

[inlmath]6)\;\frac{1}{2}\le d<1[/inlmath]
[dispmath]c+2c+1+4c+*+8c+**+16c+***+32c+****=12345[/dispmath] [inlmath]*[/inlmath] : [inlmath]2[/inlmath] ili [inlmath]3[/inlmath], [inlmath]**[/inlmath] : [inlmath]4[/inlmath], [inlmath]5[/inlmath], [inlmath]6[/inlmath] ili [inlmath]7[/inlmath], [inlmath]***[/inlmath] : od [inlmath]8[/inlmath] do [inlmath]15[/inlmath], [inlmath]****[/inlmath] : od [inlmath]16[/inlmath] do [inlmath]31[/inlmath]
Ukupno: [inlmath]2\cdot4\cdot8\cdot16=1024[/inlmath] podmogućnosti
Najveća je [inlmath]63c+(1+3+7+15+31)=12345[/inlmath], tj. [inlmath]63c+57=12345[/inlmath]. ([inlmath]57<60[/inlmath]) Ovde [inlmath]c[/inlmath] nije ceo broj, kao ni za sve ostale podmogućnosti, tj. za čitavu mogućnost [inlmath]6[/inlmath].

I time je dokazano da polazna jednačina nema rešenja u skupu realnih brojeva, jer su rešavanjem obuhvaćene sve mogućnosti intervala na kome može biti „ne ceo deo“ broja [inlmath]x[/inlmath] (tj. [inlmath]d[/inlmath]), i ni u jednom slučaju nije dobijen ceo broj za [inlmath]c[/inlmath].

Moguće da sam negde napravio grešku, zbog previše teksta

"Duša me boli" da ispravljam ovako detaljno rešenje ovako interesantnog zadatka. Ali, da ne piše možda u postavci zadatka da treba dokazati da ne postoji rešenje u skupu celih a ne realnih brojeva? Rešenje koje bi se dobilo za [inlmath]x[/inlmath] u prvom opisanom slučaju bi bio racionalan (a samim tim i realan) broj [inlmath]\frac{12345}{63}[/inlmath] koji ne bi bio ceo. Slično bi bilo i sa analizom drugih mogućnosti za vrednost [inlmath]d[/inlmath].

Postavka zadatka je dobra, treba u skupu [inlmath]\mathbb{R}[/inlmath]. Možda nisi u potpunosti shvatio moj način rešavanja. [inlmath]\frac{12345}{63}[/inlmath] nije ceo broj, ali nije tome [inlmath]x[/inlmath] bilo jednako, već [inlmath]c[/inlmath], a sa [inlmath]c[/inlmath] sam označio ceo deo, i čim se dobije, kao ovde [inlmath]c=\frac{12345}{63}[/inlmath], zakljucujemo da se nije dobila celobrojna vrednost, i da nema rešenja (u tom slučaju/intervalu, a ispostavlja se i u svim ostalim slučajevima).

U pravu si, izvini. Potpuno sam prevideo da na kraju tražimo [inlmath]c[/inlmath], a ne [inlmath]x[/inlmath]. Naravno, tvoje rešenje je tačno.

Moze i malo krace.

Neka je [inlmath]f(x)=\left\lfloor x\right\rfloor+\left\lfloor2x\right\rfloor+\left\lfloor4x\right\rfloor+\left\lfloor8x\right\rfloor+\left\lfloor16x\right\rfloor+\left\lfloor32x\right\rfloor[/inlmath]. Tada je [inlmath]f(n)=63n[/inlmath] za [inlmath]n\in\mathbb{N}[/inlmath], te onda posmatrajmo broj [inlmath]\frac{12345}{63}\approx195,95[/inlmath]. Primetimo da je [inlmath]f(196)=12348[/inlmath], dok je [inlmath]\lim\limits_{x\to196^-}f(x)=12342[/inlmath], pa ne postoji realno resenje jednacine [inlmath]f(x)=12345[/inlmath] jer je [inlmath]f[/inlmath] rastuca funkcija.

@Igore, samo jedna ispravka u slučaju pod [inlmath]3)[/inlmath],

Igor je napisao:[inlmath]3)\;\frac{1}{16}\le d<\frac{1}{8}[/inlmath]
[dispmath]c+2c+4c+8c+16c+1+32c+*=12345[/dispmath] (na mestu [inlmath]*[/inlmath] mogu stajati brojevi [inlmath]1[/inlmath], [inlmath]2[/inlmath] ili [inlmath]3[/inlmath]; jer je [inlmath]d[/inlmath] na datom intervalu, počev od [inlmath]\frac{2}{32}[/inlmath] do [inlmath]\frac{4}{32}[/inlmath])

Na mestu [inlmath]*[/inlmath] mogu stajati samo [inlmath]2[/inlmath] ili [inlmath]3[/inlmath]. Bez jedinice.

Ostali slučajevi su u redu.