MATEMANIJA

Prijemni ispit MATF – 29. jun 2011.
5. zadatak

Vrednost realnog parametra [inlmath]m[/inlmath] za koju je zbir kvadrata rešenja jednačine [inlmath]x^2−mx+m−3=0[/inlmath] najmanji je?
Resenje je [inlmath]1[/inlmath].
Razumem kako da izracunam minimalna resenja, ali posto se trazi da zbir kvadrata tih resenja bude minimalan (sto znaci da resenja ne moraju imati minimalnu vrednost), ne razumem kako da znam kada [inlmath]x_1^2+x_2^2[/inlmath] ima minimalno resenje.

Koristi Vijetove formule.
[dispmath]x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2[/dispmath] Kada ovde primeniš Vijetove formule, dobićes kvadratni trinom [inlmath]m^2-2m+6[/inlmath]. Vrednost parametra [inlmath]m[/inlmath] za koju pomenuti trinom ima minimum nije teško odrediti (nula prvog izvoda ili uz pomoć koordinata temena parabole)

Vrednost realnog parametra [inlmath]m[/inlmath] za koju je zbir kvadrata korena jednačine
[dispmath]x^2-mx+m-3=0[/dispmath] najmanji pripada intervalu:
[inlmath]A)\;(-\infty,-1]\quad[/inlmath] [inlmath]B)\;(-5,-2]\quad[/inlmath] [inlmath]C)\;(-2,2]\quad[/inlmath] [inlmath]D)\;(2,5]\quad[/inlmath] [inlmath]E)\;(5,+\infty)[/inlmath]

Eh, sad... pretpostavljam da je tačan odgovor pod [inlmath]C)[/inlmath], bar sam ja tako dobio.
Dakle, izračunao sam [inlmath]x_1^2+x_2^2[/inlmath].
Dobijam ovo:
[dispmath]m^2-2m+6[/dispmath] i to je to. Blokada. Nisam znao kako da ga uradim, pa sam primenio prvi izvod na ovome gore i dobio [inlmath]f'(x)=2m-2[/inlmath] što sam izjednačio sa nulom i dobio da mi je [inlmath]m=1[/inlmath], odatle zaključujemo da je tačan odgovor pod [inlmath]C)[/inlmath], jer je [inlmath]1[/inlmath] samo u tom intervalu.

Moja pitanja:
1. Da li je dobro ovo što sam ja uradio?
2. Da li postoji način da se ovo uradi bez izvoda i kako? (dakle samo primenom i povezivanjem osnova kvadratne jednačine i funkcije)?

Hvala

Da, ovo ti je sasvim tačno. Rastaviš jednačinu preko vijetovih kao što si i uradio, i kada dobiješ kvadratnu jednačinu, izjednačiš je sa [inlmath]0[/inlmath] i primeniš prvi izvod.
Mislim da postoje i formule za pronalaženje ekstrema, ali i ja ovo radim preko izvoda jer je dosta praktičnije i ne moraš da se mučiš da pamtiš još dodatnu formulu koju ipak nećeš koristiti tako često.

A možeš i bez izvoda, preko te „dodatne“ formule za koordinate temena:
[dispmath]x_T=-\frac{b}{2a},\qquad y_T=\frac{4ac-b^2}{4a}\left(=-\frac{D}{4a}\right)[/dispmath] ovde ti je potrebna samo ova prva, za određivanje [inlmath]x_T[/inlmath].
I nisam baš siguran da ove formule nema potrebe znati (da l' ćeš ih naučiti napamet, ili ćeš umeti da ih izvedeš kad ti zatrebaju, to već i nije tol'ko bitno).

Pošto je koeficijent uz kvadratni član u jednačini [inlmath]x^2-mx+m-3=0[/inlmath] pozitivan (jednak je jedinici), znači da će teme predstavljati minimum. U protivnom, predstavljalo bi maksimum.

EDIT: Sad videh da smo taj zadatak i imali, pre jedno metar i po dana. Bio je na prijemnom na MATF-u, 2011. godine.

Hvala obojici. Izvinjavam se sto sam promasio temu i sto sam postavio isti zadatak
Ali, Daniele, i dalje mi nije jasno kako da povezem teme parabole sa ovim :/
Mozes li da mi pojasnis malo?

Nikakav problem – nisam to napisao zato da bih te kritikovao, već da bi zainteresovani mogli da vide taj zadatak i na drugom mestu, a i da bi znali da je zadatak s prijemnog. Ali, budući da u ovoj temi ipak malo detaljnije obrađujemo taj zadatak, spojiću je s tom prethodnom temom.

Zbir kvadrata [inlmath]x_1^2+x_2^2[/inlmath] povezujemo s temenom parabole [inlmath]m^2-2m+6[/inlmath], a ne s temenom parabole [inlmath]x^2-mx+m-3=0[/inlmath]. Možda te to buni?
Dakle, traži se da je zbir [inlmath]x_1^2+x_2^2[/inlmath] minimalan. Ti si ispravno odredio čemu je taj zbir jednak (pretpostavljam da si izraz napisao kao [inlmath](x_1+x_2)^2-2x_1x_2[/inlmath] pa primenio Vietove formule, jer tako je najlakše) i dobio si da je posmatrani zbir kvadrata rešenja jednak izrazu [inlmath]m^2-2m+6[/inlmath]. Dakle, potrebno je da [inlmath]m^2-2m+6[/inlmath] bude minimalan. I, njega sad posmatramo kao tu novu parabolu, tj. novu kvadratnu funkciju po [inlmath]m[/inlmath] (za razliku od one prvobitne kvadratne funkcije koja je bila po [inlmath]x[/inlmath]) i tražimo za koje [inlmath]m[/inlmath] će izraz [inlmath]m^2-2m+6[/inlmath] biti minimalan. I, kao što već napisasmo, to radimo ili preko prvog izvoda, ili određivanjem položaja temena u zavisnosti od vrednosti [inlmath]m[/inlmath].

Ne znam da l' sam ti ovime razjasnio, da l' je to bilo ono što te bunilo?

Hvala ti puno. Ponekad se divim svojoj gluposti..