MATEMANIJA

18. Ukupan broj rešenja sistema jednačina [inlmath]\left(1+2\log_{\left|xy\right|}2\right)\cdot\log_{x+y}\left|xy\right|=1,\;x-y=2\sqrt3[/inlmath] je:
[inlmath]\enclose{box}{\left(A\right)}\;1\quad[/inlmath] [inlmath]\left(B\right)\;2\quad[/inlmath] [inlmath]\left(C\right)\;3\quad[/inlmath] [inlmath]\left(D\right)\;4\quad[/inlmath] [inlmath]\left(E\right)\;0\quad[/inlmath] [inlmath]\left(N\right)\;\mbox{Ne znam}[/inlmath]

Nesto sam pokusao, ali neuspesno, dodjem do slucaja kada imam da su mi dva izraza pod apsolutnom jednaka i ne znam sta onda.
Molim za pomoc.

[dispmath]\left(1+2\log_{\left|xy\right|}2\right)\cdot\log_{x+y}\left|xy\right|=1[/dispmath][dispmath]x-y=2\sqrt3[/dispmath]
Na samom startu postavljamo uslove da ovaj sistem jednačina bude definisan:
[inlmath]\left|xy\right|>0\quad\Rightarrow\quad xy\ne0\quad\Rightarrow\quad x\ne0,\;y\ne0\\
\left|xy\right|\ne1\quad\Rightarrow\quad xy\ne\pm1\\
x+y>0\\
x+y\ne1[/inlmath]
Pošto je [inlmath]\left|xy\right|\ne1[/inlmath], znači da je [inlmath]\log_{x+y}\left|xy\right|\ne0[/inlmath], pa možemo obe strane podeliti sa [inlmath]\log_{x+y}\left|xy\right|[/inlmath]:
[dispmath]1+2\log_{\left|xy\right|}2=\frac{1}{\log_{x+y}\left|xy\right|}[/dispmath][dispmath]\log_{\left|xy\right|}\left(x+y\right)-\log_{\left|xy\right|}4=1[/dispmath][dispmath]\log_{\left|xy\right|}\frac{x+y}{4}=1[/dispmath][dispmath]\log_{\left|xy\right|}\frac{x+y}{4}=\log_{\left|xy\right|}\left|xy\right|[/dispmath][dispmath]\frac{x+y}{4}=\left|xy\right|[/dispmath][dispmath]x+y=4\left|xy\right|[/dispmath]
Iz druge jednačine sistema možemo [inlmath]y[/inlmath] izraziti preko [inlmath]x[/inlmath]:
[inlmath]y=x-2\sqrt3[/inlmath]
pa onda to uvrstimo u dobijenu jednačinu:
[dispmath]x+\left(x-2\sqrt3\right)=4\left|x\left(x-2\sqrt3\right)\right|[/dispmath][dispmath]2x-2\sqrt3=4\left|x^2-2x\sqrt3\right|[/dispmath][dispmath]x-\sqrt3=2\left|x^2-2x\sqrt3\right|[/dispmath]
I sad razmatramo dva slučaja, zavisno od toga da li je izraz pod apsolutnom vrednošću pozitivan ili negativan:

[inlmath]I[/inlmath] slučaj: [inlmath]x^2-2x\sqrt3\ge0[/inlmath]
[inlmath]x\left(x-2\sqrt 3\right)\ge0\\
\left(x\ge0\;\land\;x\ge2\sqrt3\right)\;\lor\;\left(x\le0\;\land\;x\le2\sqrt3\right)\\
\Rightarrow\quad x\le0\;\lor\;x\ge2\sqrt3[/inlmath]
[dispmath]x-\sqrt3=2\left(x^2-2x\sqrt3\right)[/dispmath][dispmath]2x^2-\left(1+4\sqrt3\right)x+\sqrt3=0[/dispmath][dispmath]x_{1,2}=\frac{1+4\sqrt3\pm\sqrt{\left(1+4\sqrt3\right)^2-8\sqrt3}}{4}[/dispmath][dispmath]x_{1,2}=\frac{1+4\sqrt3\pm\sqrt{1+\cancel{8\sqrt3}+48-\cancel{8\sqrt3}}}{4}[/dispmath][dispmath]x_{1,2}=\frac{1+4\sqrt3\pm7}{4}[/dispmath][dispmath]\cancel{x_1=\sqrt3-\frac{3}{2}}\quad\enclose{box}{x_2=2+\sqrt3}[/dispmath]([inlmath]x_1[/inlmath] ne zadovoljava pretpostavku za [inlmath]I[/inlmath] slučaj, dok [inlmath]x_2[/inlmath] zadovoljava, pošto je [inlmath]2+\sqrt3\ge2\sqrt3[/inlmath]).

[inlmath]II[/inlmath] slučaj: [inlmath]x^2-2x\sqrt3<0[/inlmath]
[inlmath]x\left(x-2\sqrt3\right)<0[/inlmath]
[inlmath]\left(x>0\;\land\;x<2\sqrt3\right)\;\lor\;\left(x<0\;\land\;x>2\sqrt3\right)[/inlmath]
[inlmath]\Rightarrow\quad 0<x<2\sqrt3[/inlmath]
[dispmath]x-\sqrt3=-2\left(x^2-2x\sqrt3\right)[/dispmath][dispmath]2x^2+\left(1-4\sqrt3\right)x-\sqrt3=0[/dispmath][dispmath]x_{1,2}=\frac{4\sqrt3-1\pm\sqrt{\left(1-4\sqrt3\right)^2+8\sqrt3}}{4}[/dispmath][dispmath]x_{1,2}=\frac{4\sqrt3-1\pm\sqrt{1-\cancel{8\sqrt3}+48+\cancel{8\sqrt3}}}{4}[/dispmath][dispmath]x_{1,2}=\frac{4\sqrt3-1\pm7}{4}[/dispmath][dispmath]\cancel{x_1=\sqrt3-2}\quad\enclose{box}{x_2=\sqrt3+\frac{3}{2}}[/dispmath]
([inlmath]x_1[/inlmath] ne zadovoljava pretpostavku za [inlmath]II[/inlmath] slučaj, dok [inlmath]x_2[/inlmath] zadovoljava, pošto je [inlmath]0<\sqrt3+\frac{3}{2}<2\sqrt3[/inlmath]).
[dispmath]x=2+\sqrt3\quad\Rightarrow\quad y=2+\sqrt3-2\sqrt3\quad\Rightarrow\quad y=2-\sqrt3[/dispmath][dispmath]x=\sqrt3+\frac{3}{2}\quad\Rightarrow\quad y=\sqrt3+\frac{3}{2}-2\sqrt3\quad\Rightarrow\quad y=\frac{3}{2}-\sqrt3[/dispmath]
Treba proveriti i da li rešenja zadovoljavaju početne uslove.

Očigledno je da zadovoljavaju [inlmath]x\ne0[/inlmath] i [inlmath]y\ne0[/inlmath].

Provera da li je zadovoljeno [inlmath]xy\ne\pm1[/inlmath]:
[inlmath]xy=\left(2+\sqrt3\right)\left(2-\sqrt3\right)=4+\cancel{2\sqrt3}-\cancel{2\sqrt3}-3=1\quad[/inlmath] ne zadovoljava uslov
[inlmath]xy=\left(\sqrt3+\frac{3}{2}\right)\left(\frac{3}{2}-\sqrt3\right)=\cancel{\frac{3}{2}\sqrt3}+\frac{9}{4}-3-\cancel{\frac{3}{2}\sqrt3}=-\frac{3}{4}\quad[/inlmath] zadovoljava uslov

Provera da li je zadovoljeno [inlmath]x+y>0[/inlmath] i [inlmath]x+y\ne1[/inlmath] (proveru vršimo, naravno, samo za rešenje koje nismo eliminisali):
[inlmath]x+y=\cancel{\sqrt3}+\frac{3}{2}+\frac{3}{2}-\cancel{\sqrt3}=3\quad[/inlmath] zadovoljava uslov

Dakle, postoji jedno rešenje ovog sistema:
[dispmath]\left(x,y\right)=\left(\sqrt3+\frac{3}{2},\;\frac{3}{2}-\sqrt3\right)[/dispmath]

Hvala na odgovoru, shvatio sam zadatak.
Ali ne mogu da verujem da je ovo zadatak za prijemni, u smislu koliko je obiman sto se tice pisanja.

Gledao sam i ja malo te zadatke za prijemni... Tačno je da ima nekih koji su zaista obimni, kao ovaj na primer, ali zato je većina zadataka takva da se mogu rešiti za nekoliko minuta... Tako da je neki prosek potrebnog vremena po zadatku sasvim razumljiv i mislim da se bez problema sve može uraditi za vreme koje je zadato...