MATEMANIJA

Treba dokazati sledeću nejednakost:
[dispmath]\sqrt[3]{3+\sqrt[3]3}+\sqrt[3]{3-\sqrt[3]3}<2\sqrt[3]3[/dispmath] Treba mi početna ideja. Ne znam šta da uradim sa levom stranom. Probao sam da podignem sve na kub, ali mi leva strana pravi problem.

Moze elementarno, a moze i da se primeti da je funkcija [inlmath]f(t)=\sqrt[3]t[/inlmath] konkavna za [inlmath]t\ge0[/inlmath], pa je [inlmath]f((1-\lambda)x+\lambda y)\ge(1-\lambda)f(x)+\lambda f(y)[/inlmath] za sve [inlmath]x,y\ge0[/inlmath] i [inlmath]\lambda\in(0,1)[/inlmath] (jednakost vazi ako i samo ako je [inlmath]x=y[/inlmath]). Ako uzmemo [inlmath]\lambda=\frac{1}{2}[/inlmath], [inlmath]x=3+\sqrt[3]3[/inlmath] i [inlmath]y=3-\sqrt[3]3[/inlmath] dobijamo trazenu nejednakost (i to strogu).

Hvala na pomoći.

@geostorm, imaš opciju za zahvaljivanje na koju možeš kliknuti (sličica podignutog palca u gornjem desnom uglu posta).

Nekako osecam da sam duzan i da dam taj elementarni dokaz, s obzirom da sam rekao da on postoji. Naime, neka je [inlmath]a=\sqrt[3]{3+\sqrt[3]3}[/inlmath], [inlmath]b=\sqrt[3]{3-\sqrt[3]3}[/inlmath] i [inlmath]c=-2\sqrt[3]3[/inlmath]. Potrebno je pokazati da je [inlmath]a+b+c<0[/inlmath], a mi znamo efektivno da radimo sa [inlmath]a^3[/inlmath], [inlmath]b^3[/inlmath] i [inlmath]c^3[/inlmath]. Zato je dobro potraziti neki identitet koji ih povezuje, i posle malo posla mozemo se uveriti da vazi [inlmath]a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)[/inlmath]. Takodje, [inlmath]a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\ge0[/inlmath], sto mozemo videti ako taj izraz zapisemo na zgodan nacin preko kvadrata binoma. Stavise, odatle ce se videti i da vazi [inlmath]a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca=0[/inlmath] ako i samo ako je [inlmath]a=b=c[/inlmath] (sto kod nas nije slucaj, te znamo da je kod nas to strogo pozitivan broj). Zato ce vaziti [inlmath]a+b+c<0[/inlmath] ako i samo ako je [inlmath]a^3+b^3+c^3-3abc<0[/inlmath], a u ovo poslednje se uveravamo posle kratkog racuna (zapisati na sta se to svodi u nasem slucaju). I to je to onda.

Malko bih samo pripomogao onima koji budu radili na ovaj drugi način, jer mi se čini za par stvari da i nisu baš previše očigledne (ako neko bude želeo da pokuša bez ove pomoći, nek ne čita ostatak posta).

Onomatopeja je napisao:i posle malo posla mozemo se uveriti da vazi [inlmath]a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)[/inlmath].

Detaljnije o toj jednakosti – ovde.

Onomatopeja je napisao:Takodje, [inlmath]a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\ge0[/inlmath], sto mozemo videti ako taj izraz zapisemo na zgodan nacin preko kvadrata binoma.

Razviti [inlmath](a-b)^2+(b-c)^2+(a-c)^2[/inlmath] i uporediti s levom stranom citirane nejednakosti.