MATEMANIJA

Tekst zadatka glasi: Skup svih [inlmath]m\in\mathbb{R}[/inlmath] takvih da je
[dispmath]16(m-1)^2x^2+16\left(m^2-1\right)x+m^2>0[/dispmath] za svako [inlmath]x\in\mathbb{R}[/inlmath], sadržan je u skupu:
Rešenje ovog zadatka je interval [inlmath][-3,0]\cup\left(\frac{1}{2},\frac{3}{2}\right)[/inlmath]. Da bi svako [inlmath]x\in\mathbb{R}[/inlmath] bilo ispunjeno, [inlmath]a>0[/inlmath] i [inlmath]D\ge0[/inlmath], ispravite me ako grešim, ali ja mislim da uslovi treba tako da glase. Nakon što sam izračunao [inlmath]a>0[/inlmath] kao rešenje dobijam da je [inlmath]m>1[/inlmath].
Problem mi se javlja sada kod računanja [inlmath]D\ge0[/inlmath], pošto kao rešenje dobijam [inlmath]192m^4+128m^3-576m^2+256\ge0[/inlmath]. Zatim sam celu jednačinu podelio sa [inlmath]64[/inlmath], i dobio [inlmath]3m^4+2m^3-9m^2+4\ge0[/inlmath]. Šta dalje odavde, i kako da za rešenje dobijem skup koji sam naveo na početku zadatka?

Pozdrav Tinker i dobro nam došao na Matemaniju.

Svaka čast na postavljenom pitanju, nije baš čest slučaj da novi korisnik u prvom postu koristi LaTex, a pri tom si još i izložio svoju ideju.
Što se tiče zadatka, pogrešio si kod postavljanja uslova. Tačno je da koeficijent uz [inlmath]x^2[/inlmath] treba da bude pozitivan, ali diskriminanta kod ovog zadatka treba da bude manja od nule. U tom slučaju neće postojati realan broj kod kog bi ceo izraz bio jednak nuli, a pošto je koeficijent uz [inlmath]x^2[/inlmath] pozitivan i ceo izraz će biti pozitivan za svako realno [inlmath]x[/inlmath].

Uz tvoje uslove, izraz bi imao jednu dvostruku (za [inlmath]D=0[/inlmath]) ili dve realne nule (za [inlmath]D\gt0[/inlmath]).

Druga stvar, pogrešio si kod određivanja uslova za [inlmath]16(m-1)^2\gt0[/inlmath]. Ovo možeš da vidiš ako uvrstiš npr. [inlmath]m=-3[/inlmath]. Dobićeš pozitivnu vrednost uz [inlmath]x^2[/inlmath], zar ne?

Pokušaj sad da se ispetljaš, pa ako bude problema, reci.

Hvala puno. Nije toliko teško zapravo, samo sam pratio uputstva koja već postoje na forumu za korišćenje Latexa .
Elem, vratimo se na zadatak. Slažem se sa time da diskriminanta mora biti manja od nule, prevideo sam to. Ali rešenjem slučaja [inlmath]a>0[/inlmath] ja dobijam rešenje da je [inlmath]m>1[/inlmath], što kao što si naglasio nije tačno u celosti, jer [inlmath]m[/inlmath] može biti i negativan broj. Što znači da je uslov zadatka da je [inlmath]m\ne1[/inlmath]? Isto tako dobijam da je rešenje diskriminante za [inlmath]m[/inlmath] interval [inlmath]\left(-\frac{5}{2},1\right)[/inlmath]. Ne znam gde grešim, odradio sam zadatak barem nekih 7-8 puta i uvek imam istu grešku, bio bih zahvalan na pomoći ili barem još nekoj smernici.

Idemo zajedno polako:
[dispmath]16(m-1)^2\gt0[/dispmath][dispmath](m-1)^2\gt0[/dispmath] Sada malo da razmislimo... Kada je kvadrat nekog broja nenegativan? Uvek. A kada je pozitivan? Samo ako nije jednak [inlmath]0[/inlmath]. Dakle, iz ovoga možemo da zaključimo da je uslov [inlmath]m\ne1[/inlmath]. Što se tiče rešenja zadatka, da li ovo rešenje koje si naveo piše u zbirci iz koje radiš? Ako bismo uvrstili [inlmath]m=0[/inlmath] u polaznu nejednačinu dobili bismo izraz koji nije pozitivan za svako realno [inlmath]x[/inlmath].

Voleo bih da još neko ovo pogleda...

Da, to je rešenje koje stoji kao tačno u zbirci. Radio sam gomilu sličnih zadataka kao što je ovaj, i nikada nisam imao problema ove vrste, tako da sumnjam na to da je ili rešenje pogrešno, ili da konstantno pravim neku grešku koju ne primećujem.

Ono što mene buni kod zadatog rešenja je ako bismo uzeli [inlmath]m=0[/inlmath], nejednačina bi bila:
[dispmath]16(-1)^2x^2+16(-1)x+0\gt0[/dispmath][dispmath]16x^2-16x\gt0[/dispmath] A definitivno postoji realno [inlmath]x[/inlmath] za koje ova nejednakost nije tačna. Pošto kažeš da si dosta sličnih zadataka uradio tačno, usudio bih se da pretpostavim da je greška u zbirci, bilo u postavci zadatka bilo u rešenju.

miletrans je napisao:Svaka čast na postavljenom pitanju, nije baš čest slučaj da novi korisnik u prvom postu koristi LaTex, a pri tom si još i izložio svoju ideju.

Pridružujem se pohvalama. Dobrodošlica i od mene.

U redu je rešenje koje je ponuđeno. Al' haj'mo redom. Prvo, izraz na levoj strani uopšte i ne mora biti kvadratna funkcija da bi nejednakost bila zadovoljena za svako [inlmath]x[/inlmath]. U slučaju linearne funkcije, naravno, ne možemo ostvariti pozitivnost za svako [inlmath]x[/inlmath], ali ako bi na levoj strani bila konstanta, i to pozitivna, onda bi nejednakost bila uvek zadovoljena. A leva strana će biti pozitivna konstanta onda kada je [inlmath]m=1[/inlmath]. Dakle, [inlmath]m=1[/inlmath] je jedno rešenje.

Za preostale vrednosti parametra [inlmath]m[/inlmath], koeficijent uz kvadratni član će uvek biti pozitivan.

Dalje, nikako ne preporučujem razvijanje diskriminatne na ovaj način,

Tinker je napisao:[inlmath]192m^4+128m^3-576m^2+256\ge0[/inlmath]

ništa lakše nego se pogubiti među ovim ogromnim brojevima. Umesto od toga, krenemo od nejednačine [inlmath]D<0[/inlmath], tj.
[dispmath]16^2\left(m^2-1\right)^2-4\cdot16m^2(m-1)^2<0[/dispmath] (dakle, ništa ne množimo). Podelimo obe strane sa [inlmath]4\cdot16[/inlmath], faktor [inlmath]\left(m^2-1\right)^2[/inlmath] razložimo kao razliku kvadrata, dobijemo
[dispmath]4(m-1)^2(m+1)^2-m^2(m-1)^2<0[/dispmath] Budući da smo slučaj [inlmath]m=1[/inlmath] već razmotrili, tj. ovo sad radimo za slučaj [inlmath]m\ne1[/inlmath], faktor [inlmath](m-1)[/inlmath] će biti različit od nule, a [inlmath](m-1)^2[/inlmath] će biti strogo pozitivan, pa možemo obe strane podeliti tim faktorom, ne menjajući smer znaka nejednakosti:
[dispmath]4(m+1)^2-m^2<0[/dispmath] Složićeš se da je ovo sad mnogo lakše za rešavanje. Naravno, odavde se dobije kvadratna nejednačina [inlmath]3m^2+8m+4<0[/inlmath], čije rešenje je interval [inlmath]\left(-2,-\frac{2}{3}\right)[/inlmath].

Dakle, konačno rešenje glasi [inlmath]\left(-2,-\frac{2}{3}\right)\cup\{1\}[/inlmath], a to jeste podskup ponuđenjog skupa [inlmath][-3,0]\cup\left(\frac{1}{2},\frac{3}{2}\right)[/inlmath], tako da je to tačan odgovor.
Sve i da smo prevideli rešenje [inlmath]m=1[/inlmath] (a to jeste ozbiljna zamka u ovom zadatku), opet bi ponuđeni odgovor [inlmath][-3,0]\cup\left(\frac{1}{2},\frac{3}{2}\right)[/inlmath] bio tačan, jer i sâm skup [inlmath]\left(-2,-\frac{2}{3}\right)[/inlmath] jeste sadržan u skupu [inlmath][-3,0]\cup\left(\frac{1}{2},\frac{3}{2}\right)[/inlmath].

Da, u pravu si, ja sam takođe prevideo činjenicu da u tekstu zadatka piše sadržan, a ne tačan interval rešenja. Hvala puno na pomoći!