Ovo su zadaci koji su mi preostali iz oblasti, pa ako bi mogao detaljan postupak hvalaaaaaaaaa

1. Neka je [inlmath]p[/inlmath] ceo broj i [inlmath]\alpha\in\left(0,\frac{\pi}{4}\right][/inlmath]. Ako su [inlmath]x_1=\cos\alpha[/inlmath] i [inlmath]x_2=\sin\alpha[/inlmath] rešenje jednačine [inlmath]18x^2-6\left(p+3\right)x+p\left(p+6\right)=0[/inlmath] broj uređenih parova [inlmath]\left(p,\alpha\right)[/inlmath] je?
2. Neka su [inlmath]x_1[/inlmath] i [inlmath]x_2[/inlmath] rešenja jednačine [inlmath]\left(a-1\right)x^2+ax+2=0[/inlmath], gde je [inlmath]a[/inlmath] realan parametar. Skup svih vrednosti [inlmath]a[/inlmath] za koje su [inlmath]x_1[/inlmath] i [inlmath]x_2[/inlmath] realni i međusobno različiti brojevi iz intervala [inlmath]\left(1,2\right)[/inlmath] je?
3. Jednačina [inlmath]\left|x^2-2x-3\right|=a,\;a\in\mathbb{R}[/inlmath] ima maksimalan broj različitih realnih rešenja ako i samo ako vrednosti realnog parametra [inlmath]a[/inlmath] pripadaju?
4. Najmanji prirodan broj [inlmath]k[/inlmath], takav da nejednakost [inlmath]\left(k-2\right)x^2+8x+k+4>0[/inlmath] važi za svako [inlmath]x[/inlmath], je?
5. Ako su [inlmath]x_1[/inlmath] i [inlmath]x_2[/inlmath] rešenja jednačine [inlmath]x^2-2\left(a-1\right)x+a+1=0[/inlmath] onda je vrednost parametra [inlmath]a[/inlmath] za koju je izraz [inlmath]x_1^2x_2+x_1x_2^2+x_1x_2[/inlmath] najmanji jednaka?
6. Broj realnih parametara [inlmath]\alpha[/inlmath] za koje jednačina [inlmath]\alpha+\alpha^2x=1+x[/inlmath] nema rešenja je?
7. Ako su [inlmath]\alpha[/inlmath] i [inlmath]\beta[/inlmath] rešenja kvadratne jednačine [inlmath]x^2+x+1=0[/inlmath] tada je izraz [inlmath]\frac{\alpha^3-\beta^3}{\alpha^4-\beta^4}[/inlmath] jednak?

[inlmath]3.[/inlmath]
Skiciraj grafik funkcije [inlmath]\left|x^2-2x-3\right|[/inlmath], nacrtaj pravac [inlmath]y=a[/inlmath] i posmatraj za koje vrednosti [inlmath]a[/inlmath] će broj preseka pravca i kvadratne funkcije biti maksimalan. Imali smo već takve zadatke ovde i ovde.

[inlmath]4.[/inlmath]
Prvo za koeficijent uz kvadratni član postavi uslov da kvadratna funkcija bude ograničena s donje strane, tj. da ima minimum.
Zatim napiši uslov koji diskriminanta mora da ispunjava da bi kvadratna funkcija uvek bila pozitivna, tj. da nema preseke s [inlmath]x[/inlmath]-osom, tj. nule. Odatle odredi rešenja po [inlmath]k[/inlmath].
Nađi presek dobijenih rešenja s prvobitno postavljenim uslovom za koeficijent uz kvadratni član.

[inlmath]5.[/inlmath]
Izraz [inlmath]x_1^2x_2+x_1x_2^2+x_1x_2[/inlmath] napiši u obliku u kom figurišu [inlmath]x_1+x_2[/inlmath] i [inlmath]x_1x_2[/inlmath], a zatim primeni Vietove formule. Dobićeš kvadratnu funkciju od [inlmath]a[/inlmath]. Zatim primeni formulu za vrednost nezavisne promenljive pri kojoj je vrednost kvadratne funkcije minimalna [inlmath]\left(-\frac{b}{2a}\right)[/inlmath].

[inlmath]6.[/inlmath]
Linearna jednačina. Članove koji sadrže [inlmath]x[/inlmath] prebaci na jednu stranu, slobodne članove na drugu. Izrazi [inlmath]x[/inlmath] preko parametra [inlmath]a[/inlmath]. Posmatraj razlomak koji dobiješ. Kada su i brojilac i imenilac jednaki nuli, tada postoji beskonačno mnogo rešenja po [inlmath]x[/inlmath]. Kada je brojilac različit od nule, a imenilac jednak nuli, tada jednačina nema rešenja i to je slučaj koji se traži.

[inlmath]7.[/inlmath]
Izraz [inlmath]\frac{\alpha^3-\beta^3}{\alpha^4-\beta^4}[/inlmath] napiši u obliku u kom figurišu [inlmath]\alpha+\beta[/inlmath] i [inlmath]\alpha\beta[/inlmath], a zatim primeni Vietove formule.

[inlmath]2.[/inlmath][dispmath]\left(a-1\right)x^2+ax+2=0,\quad x_1, x_2\in\left(1,2\right),\quad x_1\ne x_2[/dispmath][dispmath]x_{1,2}=\frac{-a\pm\sqrt{a^2-8\left(a-1\right)}}{2\left(a-1\right)}[/dispmath][dispmath]x_{1,2}=\frac{-a\pm\sqrt{a^2-8a+8}}{2\left(a-1\right)}[/dispmath][dispmath]x_1=\frac{-a-\sqrt{a^2-8a+8}}{2\left(a-1\right)},\quad x_2=\frac{-a+\sqrt{a^2-8a+8}}{2\left(a-1\right)}[/dispmath]Početni uslov:
[inlmath]a-1\ne 0,\quad D>0[/inlmath]
[inlmath]a\ne 1,\quad a^2-8a+8>0[/inlmath]
[inlmath]a_{1,2}=\frac{8\pm\sqrt{64-32}}{2}[/inlmath]
[inlmath]a_{1,2}=\frac{8\pm\sqrt{32}}{2}[/inlmath]
[inlmath]a_{1,2}=4\pm\sqrt{8}[/inlmath]
[inlmath]a_{1,2}=4\pm 2\sqrt{2}[/inlmath]
[inlmath]\Rightarrow\quad a\ne 1,\quad a<4-2\sqrt 2,\quad a>4+2\sqrt 2[/inlmath]

Posmatramo dva odvojena slučaja: [inlmath]a-1>0[/inlmath] i [inlmath]a-1<0[/inlmath].

[inlmath]I[/inlmath] slučaj:
[inlmath]\begin{array}{ll}
a-1>0 \\
a>1 \\
x_1<x_2
\end{array}[/inlmath]
Pošto je u ovom slučaju [inlmath]x_1<x_2[/inlmath], uslov da oba rešenja pripadaju intervalu [inlmath]\left(1,2\right)[/inlmath] je taj, da je [inlmath]x_1>1[/inlmath] i [inlmath]x_2<2[/inlmath].[dispmath]x_1>1[/dispmath][dispmath]\frac{-a-\sqrt{a^2-8a+8}}{2\left(a-1\right)}>1[/dispmath][dispmath]-a-\sqrt{a^2-8a+8}>2\left(a-1\right)[/dispmath][dispmath]-a-2\left(a-1\right)>\sqrt{a^2-8a+8}[/dispmath][dispmath]-3a+2>\sqrt{a^2-8a+8}[/dispmath]Pre kvadriranja (pošto se kvadriranjem gubi informacija o predznaku leve i desne strane) moramo diskutovati. Desna strana jednačine je uvek veća ili jednaka nuli (zbog definicije kvadratnog korena), a pošto je leva strana strogo veća od desne, leva strana mora biti strogo veća od nule:
[inlmath]-3a+2>0[/inlmath]
[inlmath]a<\frac{2}{3}[/inlmath]
Pošto je ovaj uslov u suprotnosti s uslovom za ovaj slučaj, [inlmath]a>1[/inlmath], odmah vidimo da ovaj [inlmath]I[/inlmath] slučaj nema rešenja.

[inlmath]II[/inlmath] slučaj:
[inlmath]\begin{array}{ll}
a-1<0 \\
a<1 \\
x_1>x_2
\end{array}[/inlmath]
Pošto je u ovom slučaju [inlmath]x_1>x_2[/inlmath], uslov da oba rešenja pripadaju intervalu [inlmath]\left(1,2\right)[/inlmath] je taj, da je [inlmath]x_1<2[/inlmath] i [inlmath]x_2>1[/inlmath].[dispmath]x_1<2[/dispmath][dispmath]\frac{-a-\sqrt{a^2-8a+8}}{2\left(a-1\right)}<2[/dispmath][dispmath]-a-\sqrt{a^2-8a+8}>4\left(a-1\right)[/dispmath][dispmath]-a-4\left(a-1\right)>\sqrt{a^2-8a+8}[/dispmath][dispmath]-5a+4>\sqrt{a^2-8a+8}[/dispmath]I opet, pre kvadriranja moramo diskutovati. Desna strana jednačine je uvek veća ili jednaka nuli, a pošto je leva strana strogo veća od desne, leva strana mora biti strogo veća od nule:
[inlmath]-5a+4>0[/inlmath]
[inlmath]a<\frac{4}{5}[/inlmath][dispmath]\left(-5a+4\right)^2>a^2-8a+8[/dispmath][dispmath]25a^2-40a+16>a^2-8a+8[/dispmath][dispmath]24a^2-32a+8>0\quad /\; :8[/dispmath][dispmath]3a^2-4a+1>0[/dispmath][dispmath]a_{1,2}=\frac{4\pm\sqrt{16-12}}{6}[/dispmath][dispmath]a_{1,2}=\frac{4\pm 2}{6}[/dispmath][dispmath]a_{1,2}=\frac{2\pm 1}{3}[/dispmath][dispmath]a_1=\frac{1}{3},\quad a_2=1[/dispmath][dispmath]a<\frac{1}{3}\quad\lor\quad a>1[/dispmath]Presek s uslovom ovog slučaja, [inlmath]a<\frac{4}{5}[/inlmath], daće [inlmath]a<\frac{1}{3}[/inlmath]. Pošto je ovo slučaj s pretpostavkom da je [inlmath]a<1[/inlmath], tražimo zatim presek i s tim uslovom, pa dobijamo opet [inlmath]a<\frac{1}{3}[/inlmath].[dispmath]x_2>1[/dispmath][dispmath]\frac{-a+\sqrt{a^2-8a+8}}{2\left(a-1\right)}>1[/dispmath][dispmath]-a+\sqrt{a^2-8a+8}<2\left(a-1\right)[/dispmath][dispmath]\sqrt{a^2-8a+8}<2a-2+a[/dispmath][dispmath]\sqrt{a^2-8a+8}<3a-2[/dispmath]I opet, pre kvadriranja moramo diskutovati. Leva strana jednačine je uvek veća ili jednaka nuli, a pošto je desna strana strogo veća od desne, desna strana mora biti strogo veća od nule:
[inlmath]3a-2>0[/inlmath]
[inlmath]a>\frac{2}{3}[/inlmath][dispmath]a^2-8a+8<\left(3a-2\right)^2[/dispmath][dispmath]a^2-8a+8<9a^2-12a+4[/dispmath][dispmath]8a^2-4a-4>0\quad /\; :4[/dispmath][dispmath]2a^2-a-1>0[/dispmath][dispmath]a_{1,2}=\frac{1\pm\sqrt{1+8}}{4}[/dispmath][dispmath]a_{1,2}=\frac{1\pm 3}{4}[/dispmath][dispmath]a_1=-\frac{1}{2},\quad a_2=1[/dispmath][dispmath]a<-\frac{1}{2}\quad\lor\quad a>1[/dispmath]Presek s uslovom ovog slučaja, [inlmath]a>\frac{2}{3}[/inlmath], daće [inlmath]a>1[/inlmath]. Ali, pošto je ovo slučaj s pretpostavkom da je [inlmath]a<1[/inlmath], ni ovaj slučaj nema rešenja.

Pošto nijedan od pretpostavljena dva slučaja ([inlmath]a>1[/inlmath] ili [inlmath]a<1[/inlmath]) nema rešenja, zaključujemo da zadatak nema rešenja.

[inlmath]1.[/inlmath][dispmath]18x^2-6\left(p+3\right)x+p\left(p+6\right)=0\\
p\in\mathrm{Z},\quad\alpha\in\left(0,\frac{\pi}{4}\right]\\
x_1=\cos\alpha,\quad x_2=\sin\alpha\\
\left(p,\alpha\right)[/dispmath]
Primenimo Vietove formule:
[dispmath]x_1+x_2=-\frac{-6\left(p+3\right)}{18}=\frac{p+3}{3}\\
x_1x_2=\frac{p\left(p+6\right)}{18}=\frac{p^2+6p}{18}[/dispmath]
[dispmath]\left(x_1+x_2\right)^2=x_1^2+x_2^2+2x_1x_2[/dispmath][dispmath]\left(\frac{p+3}{3}\right)^2=\underbrace{\cos^2\alpha+\sin^2\alpha}_1+2\cdot\frac{p^2+6p}{18}[/dispmath][dispmath]\frac{p^2+6p+9}{9}=1+\frac{p^2+6p}{9}[/dispmath][dispmath]\frac{p^2+6p+9}{9}=\frac{p^2+6p+9}{9}[/dispmath]
što je zadovoljeno za svako [inlmath]p[/inlmath].
[dispmath]\left(x_1+x_2\right)^2=x_1^2+x_2^2+2x_1x_2[/dispmath][dispmath]\left(\frac{p+3}{3}\right)^2=\underbrace{\cos^2\alpha+\sin^2\alpha}_1+\underbrace{2\cos\alpha\sin\alpha}_{\sin2\alpha}[/dispmath][dispmath]\frac{p^2+6p+9}{9}=1+\sin2\alpha[/dispmath][dispmath]\sin2\alpha=\frac{p^2+6p+9}{9}-1[/dispmath][dispmath]\sin2\alpha=\frac{p^2+6p}{9}[/dispmath][dispmath]\alpha\in\left(0,\frac{\pi}{4}\right]\quad\Rightarrow\quad2\alpha\in\left(0,\frac{\pi}{2}\right]\quad\Rightarrow\quad\sin2\alpha\in\left(0,1\right][/dispmath][dispmath]0<\frac{p^2+6p}{9}\le1[/dispmath][dispmath]\frac{p^2+6p}{9}>0\quad\land\quad\frac{p^2+6p}{9}\le1[/dispmath][dispmath]p^2+6p>0\quad\land\quad p^2+6p\le9[/dispmath][dispmath]p^2+6p>0\quad\land\quad p^2+6p-9\le0[/dispmath][dispmath]\left(p<-6\quad\lor\quad p>0\right)\quad\land\quad-3-3\sqrt2\le p\le-3+3\sqrt2[/dispmath][dispmath]-3-3\sqrt2\le p<-6\quad\lor\quad0<p\le-3+3\sqrt2[/dispmath][dispmath]p\in\mathrm{Z}\quad\Rightarrow\quad-7\le p<-6\quad\lor\quad0<p\le1[/dispmath][dispmath]p\in\left\{-7,1\right\}[/dispmath]
Ovime smo dovoljno „suzili obruč“ za moguće vrednosti parametra [inlmath]p[/inlmath].
Sada, uvrštavanjem svake od ove dve vrednosti, proveravamo hoće li početna jednačina i svi zadati uslovi biti zadovoljeni.

[inlmath]p=-7:[/inlmath]
[dispmath]18x^2+24x+7=0\\
x_{1,2}=\frac{-24\pm\sqrt{24^2-4\cdot18\cdot7}}{36}\\
x_{1,2}=\frac{-24\pm6\sqrt{4^2-2\cdot7}}{36}\\
x_{1,2}=\frac{-4\pm\sqrt2}{6}[/dispmath]
Pošto su rešenja negativna, tj. [inlmath]\sin\alpha<0[/inlmath] i [inlmath]\cos\alpha<0[/inlmath], ovaj slučaj očigledno nema rešenja u zadatom intervalu [inlmath]\displaystyle\alpha\in\left(0,\frac{\pi}{4}\right][/inlmath].

[inlmath]p=1:[/inlmath]
[dispmath]18x^2-24x+7=0\\
x_{1,2}=\frac{24\pm\sqrt{24^2-4\cdot18\cdot7}}{36}\\
x_{1,2}=\frac{24\pm6\sqrt{4^2-2\cdot7}}{36}\\
x_{1,2}=\frac{4\pm\sqrt2}{6}[/dispmath]
Proverimo da li važi [inlmath]x_1^2+x_2^2=1[/inlmath]:
[dispmath]\left(\frac{4-\sqrt2}{6}\right)^2+\left(\frac{4+\sqrt2}{6}\right)^2=\frac{1}{36}\left(16-\cancel{8\sqrt2}+2+16+\cancel{8\sqrt2}+2\right)=1[/dispmath]
Takođe, oba rešenja su pozitivna, što znači da je [inlmath]\alpha[/inlmath] u [inlmath]I[/inlmath] kvadrantu, tako da, ako manje rešenje izaberemo za [inlmath]\sin\alpha[/inlmath] a veće za [inlmath]\cos\alpha[/inlmath], imaćemo da [inlmath]\alpha\in\left(0,\frac{\pi}{4}\right][/inlmath]:
[dispmath]\sin\alpha=\frac{4-\sqrt2}{6}\quad\Rightarrow\quad\alpha=\arcsin\frac{4-\sqrt2}{6}\\
\cos\alpha=\frac{4+\sqrt2}{6}\quad\Rightarrow\quad\alpha=\arccos\frac{4+\sqrt2}{6}[/dispmath]

Prema tome, [inlmath]\left(p,\alpha\right)=\left(1,\arcsin\frac{4-\sqrt2}{6}\right)[/inlmath] je rešenje, i to je jedino rešenje.