MATEMANIJA

Pozdrav,

Reč je o 10. zadatku iz 2016. godine sa MATF-a, koji glasi:

Za koju vrednost realnog parametra [inlmath]a[/inlmath] jednačina [inlmath]\bigl||x-3|-1\bigr|=a[/inlmath] ima tačno tri realna rešenja?
[inlmath]A)\;-1\quad[/inlmath] [inlmath]B)\;0\quad[/inlmath] [inlmath]\enclose{circle}{C)}\;1\quad[/inlmath] [inlmath]D)\;2\quad[/inlmath] [inlmath]E)\;3[/inlmath]

Ja sam ovo odvojio na dva različita slučaja (ili slučajeva, nisam siguran baš ali mislim da je dublet ):
[dispmath]|x-3|-1=a[/dispmath][dispmath]|x-3|-1=-a[/dispmath] I onda to razvio u:
[inlmath]1)\;x=4+a,\quad x\ge3,\quad a\in[-1,+\infty)\\
2)\;x=2-a,\quad x<3,\quad a\in[0,+\infty)\\
3)\;x=4-a,\quad x\ge3,\quad a\in(-\infty,1]\\
4)\;x=2+a,\quad x<3,\quad a\in(-\infty,0][/inlmath]

Sada, mene zanima da li je ovo tačno? i šta bih radio odavde dalje da dođem do tačnog rešenja?
P.S. A pre nego što neko predloži - a siguran sam da hoće, da, pokušao sam prostom zamenom rešenja za [inlmath]a[/inlmath] koja su ponuđena, i tačno rešenje dobio baš za [inlmath]1[/inlmath], ali sam u nedoumici oko ovoga što sam ranije ispisao i voleo bih da znam da li je to dobro, ili ne.

Samo skiciraj grafik funkcije sa leve strane i lako ćeš uočiti koja prava paralelna sa [inlmath]x[/inlmath]-osom ga seče tri puta.

Slažem se s bobanexom da je ovaj zadatak najlakše rešiti grafički. Moj savet je da funkciju skiciraš iz koraka – prvo skiciraš funkciju [inlmath]x-3[/inlmath]. Zatim skiciraš [inlmath]|x-3|[/inlmath], tako što ćeš delove funkcije [inlmath]x-3[/inlmath] koji su ispod [inlmath]x[/inlmath]-ose „prebaciti nagore“, da budu kao „lik u ogledalu“ u odnosu na [inlmath]x[/inlmath]-osu. Zatim [inlmath]|x-3|-1[/inlmath] dobiješ tako što grafik [inlmath]|x-3|[/inlmath] transliraš nadole za [inlmath]1[/inlmath]. Na kraju, [inlmath]\bigl||x-3|-1\bigr|[/inlmath] isto dobiješ tako što od funkcije [inlmath]|x-3|-1[/inlmath] delove koji su ispod ose prebaciš iznad [inlmath]x[/inlmath]-ose kao lik u ogledalu.

Što se tiče tvog postupka, iskreno, ne vidim baš da on vodi do nekog rešenja (bar ne elegantnog). Prokomentarisao bih samo tačnost pojedinih koraka:

Tinker je napisao:[dispmath]|x-3|-1=a[/dispmath][dispmath]|x-3|-1=-a[/dispmath]

Ovo je u principu OK, s tim da prethodno postaviš uslov da je [inlmath]a\ge0[/inlmath] (pošto je leva strana jednačine [inlmath]\ge0[/inlmath], mora biti i desna).

Tinker je napisao:I onda to razvio u:
[inlmath]1)\;x=4+a,\quad x\ge3,\quad a\in[-1,+\infty)\\
2)\;x=2-a,\quad x<3,\quad a\in[{\color{red}0},+\infty)\\
3)\;x=4-a,\quad x\ge3,\quad a\in(-\infty,1]\\
4)\;x=2+a,\quad x<3,\quad a\in(-\infty,{\color{red}0}][/inlmath]

Ovo crveno ti ne valja.

Tinker je napisao:Ja sam ovo odvojio na dva različita slučaja (ili slučajeva, nisam siguran baš ali mislim da je dublet ):

Slučajeva i slučaja jeste dublet, ali samo u genitivu množine, ne i u genitivu jednine. Znači, može pet slučajeva ili pet slučaja jer nakon broja pet ide genitiv množine. Ali, kako nakon broja dva ide genitiv jednine, a on glasi isključivo slučaja (tog slučaja, nikako tog slučajeva), onda je ispravno jedino dva slučaja (nikako dva slučajeva). Nadam se da sam pomogao.

[dispmath]x\in\left(-\infty,2\right],\quad x=2-a\\
x\in\left(2,3\right),\quad x=2+a\\
x\in\left[3,4\right),\quad x=4-a\\
x\in\left[4,+\infty\right),\quad x=4+a[/dispmath] To izgleda ovako kada se sredi. Ako neko želi neka nastavi