MATEMANIJA

Zdravo!

Trebam pomoć oko zadatka sa državnog takmičenja iz 1992.
Zadatak glasi:

Dokaži, da jednačina [inlmath](3x+y)^2+y^2=1111[/inlmath] nema rješenja u skupu cijelih brojeva.

E sad, moj način razmišljanja je da je broj [inlmath]1111[/inlmath] djeljiv samo sa [inlmath]1[/inlmath], [inlmath]11[/inlmath], [inlmath]101[/inlmath] te [inlmath]1111[/inlmath] i pokušao sam nagađati [inlmath]x[/inlmath] i [inlmath]y[/inlmath] te tako dokazati da ih je nemoguće pronaći. Ali rešenja u zbirci kažu nešto sasvim drugačije (Pokazaćemo da lijeva i desna strana imaju različit ostatak pri dijeljenju s [inlmath]3[/inlmath] itd.).

Hvala na svakom vidu pomoći!

Zdravo.
Nisam najbolje razumeo šta zapravo treba da ti se pomogne, budući da već imaš kod sebe rešenje kako se radi. S tim uputstvom koje si naveo, zadatak se uradi u par redova – razvije se kvadrat binoma i posmatraju se slučajevi [inlmath]y=3k[/inlmath], [inlmath]y=3k+1[/inlmath] i [inlmath]y=3k+2[/inlmath]. Naravno, odredi se i ostatak pri deljenju desne strane sa [inlmath]3[/inlmath].
Ako se i dalje ne snalaziš, napiši ovde to rešenje koje imaš, naznači delove koji ti nisu jasni – i pojasničemo.

Nema čak ni potrebe za razvijanjem kvadrata binoma, jer će oba sabirka imati isti ostatak pri deljenju sa [inlmath]3[/inlmath], što znači da će njihov zbir davati paran ostatak pri deljenju sa [inlmath]3[/inlmath] (odnosno [inlmath]0[/inlmath] ili [inlmath]2[/inlmath]), dok broj [inlmath]1111[/inlmath] daje ostatak [inlmath]1[/inlmath] pri deljenju sa [inlmath]3[/inlmath].

Alternativno, ako se ne bismo setili deljenja trojkom pošto je [inlmath]1111[/inlmath] relativno mali broj, mogli smo ispitati sve moguće zbirove kvadrata koji zadovoljavaju jednakost (ako ih ima) i onda "peške" utvrdili da jednačina nema rešenja. Naravno, preporučljiv je prvi način.

Najprije, hvala obojici na odgovoru.

Što se tiče, rješenja ono glasi:

Pokazaćemo, da lijeva i desna strana imaju različit ostatak pri dijeljenju s [inlmath]3[/inlmath]. To će značiti da jednačina nema rešenja. (Odmah na početku mi je nejasno zašto baš moramo provjeriti koji je ostatak pri dijeljenju s 3, zašto baš tri, u suštini to me najviše zbunjuje - kakve veze ima ostatak pri dijeljenju s 3.) Kvadrat cijelog broja može imati pri dijeljenju s [inlmath]3[/inlmath] ostatak [inlmath]0[/inlmath] ili [inlmath]1[/inlmath]. Broj [inlmath]3x+y[/inlmath] ima isti ostatak pri dijeljenju s [inlmath]3[/inlmath] kao i [inlmath]y[/inlmath], zato lijeva i desna strana ne mogu dati ostatka [inlmath]1[/inlmath] pri dijeljenju s [inlmath]3[/inlmath] (Isto, zbunjujuće, na osnovu čega je to utvrđeno?); takav ostatak će dati desna strana, jer je [inlmath]1111=370\cdot3+1[/inlmath].

U suštini, vjerujem da zadatak nije toliko težak, ali rešenje samo po sebi je nepotpuno razjašnjeno (moje mišljenje).

Hvala još jednom na svakom vidu pomoći!

jorga01 je napisao:Pokazaćemo, da lijeva i desna strana imaju različit ostatak pri dijeljenju s [inlmath]3[/inlmath]. To će značiti da jednačina nema rešenja. (Odmah na početku mi je nejasno zašto baš moramo provjeriti koji je ostatak pri dijeljenju s 3, zašto baš tri, u suštini to me najviše zbunjuje - kakve veze ima ostatak pri dijeljenju s 3.)

Odgovor na ovo pitanje imaš dalje u tekstu rešenja, u rečenici „Broj [inlmath]3x+y[/inlmath] ima isti ostatak pri dijeljenju s [inlmath]3[/inlmath] kao i [inlmath]y[/inlmath]“. Naime, pošto [inlmath]x[/inlmath] figuriše samo u okviru sabirka [inlmath]3x[/inlmath] koji je uvek deljiv sa [inlmath]3[/inlmath], jasno je da vrednost [inlmath]x[/inlmath] nema uticaja na ostatak pri deljenju leve strane sa [inlmath]3[/inlmath]. Zbog toga je najzgodnije (ako ne i jedini način da se zadatak reši) posmatrati ostatak pri deljenju leve strane baš sa [inlmath]3[/inlmath].

jorga01 je napisao:Kvadrat cijelog broja može imati pri dijeljenju s [inlmath]3[/inlmath] ostatak [inlmath]0[/inlmath] ili [inlmath]1[/inlmath]. Broj [inlmath]3x+y[/inlmath] ima isti ostatak pri dijeljenju s [inlmath]3[/inlmath] kao i [inlmath]y[/inlmath], zato lijeva i desna strana ne mogu dati ostatka [inlmath]1[/inlmath] pri dijeljenju s [inlmath]3[/inlmath] (Isto, zbunjujuće, na osnovu čega je to utvrđeno?);

Ovo crveno zaista jeste zbunjujuće. Desna strana daje ostatak [inlmath]1[/inlmath] pri deljenju sa [inlmath]3[/inlmath] (što uostalom i piše u poslednjoj rečenici rešenja). Umesto ovog crvenog smislenije bi bilo da piše zbir sabiraka na levoj strani, ili tako nešto. Jer, pošto [inlmath]y^2[/inlmath] može pri deljenju sa [inlmath]3[/inlmath] dati ostatak [inlmath]0[/inlmath] ili [inlmath]1[/inlmath], a [inlmath]3x+y[/inlmath] i [inlmath]y[/inlmath] daju isti ostatak pri deljenju sa [inlmath]3[/inlmath], pa samim tim i [inlmath](3x+y)^2[/inlmath] i [inlmath]y^2[/inlmath] daju isti ostatak pri deljenju sa [inlmath]3[/inlmath], imamo dva slučaja: prvi slučaj, da [inlmath]y^2[/inlmath] pri deljenju sa [inlmath]3[/inlmath] daje ostatak [inlmath]0[/inlmath], tada će oba sabirka na levoj strani dati ostatak [inlmath]0[/inlmath] pa će i njihov zbir dati ostatak [inlmath]0[/inlmath]; drugi slučaj, da [inlmath]y^2[/inlmath] pri deljenju sa [inlmath]3[/inlmath] daje ostatak [inlmath]1[/inlmath], tada će oba sabirka na levoj strani dati ostatak [inlmath]1[/inlmath] pa će njihov zbir dati ostatak [inlmath]2[/inlmath]. Prema tome, ni u kom slučaju leva strana ne može pri deljenju sa [inlmath]3[/inlmath] dati ostatak [inlmath]1[/inlmath], za razliku od desne strane koja upravo kao ostatak pri deljenju sa [inlmath]3[/inlmath] daje [inlmath]1[/inlmath].

Aaa, sad razumijem!

Najljepša hvala!