MATEMANIJA

Zdravo!

Trebam pomoć oko zadatka sa državnog takmičenja iz 1992.
Zadatak glasi:

Koji realni brojevi (različiti od [inlmath]0[/inlmath]) [inlmath]x[/inlmath], [inlmath]y[/inlmath] i [inlmath]z[/inlmath] su odgovaraju nejednačinama:
[dispmath]\frac{1}{x}\cdot y\cdot z<-x+y+z[/dispmath][dispmath]\frac{1}{y}\cdot z\cdot x<-y+z+x[/dispmath][dispmath]\frac{1}{z}\cdot x\cdot y<-z+x+y[/dispmath] Prvo što sam uočio je da to ne mogu biti isti brojevi, jer ako je [inlmath]x=y[/inlmath] (recimo u prvoj jednačini), dobijemo [inlmath]z<z[/inlmath] što je, naravno nemoguće.
Takođe imam i rešenja koja su mi potpuno nejasna, uglavnom na kraju je dokazano da ne postoje takva tri broja.

Hvala na svakom vidu pomoći!

Slično kao i u ovom postu – napiši to rešenje koje imaš, i preciziraj šta u tom rešenju treba da ti se objasni.

Hvala na odgovoru!

Evo nakon par detaljnih čitanja rešenja sam uspio shvatiti, samo bez rešenja bih stvarno teško prišao na ideju kako uopšte početi zadatak.

Hvala u svakom slučaju!

Super što si rešio problem s tim zadatkom, samo, zašto ne bi to rešenje koje imaš podelio i s ostalima na forumu? Naravno, nisi obavezan da to učiniš, ali nekome bi u budućnosti moglo biti od velike pomoći...

Važi, nije problem!

Rešenje: S obzirom da je sistem nejednačina simetričan u sve tri nepoznate, možemo uzeti da je [inlmath]x<y<z[/inlmath].
Iz druge nejednačine slijedi:
[dispmath]\frac{z}{x}(x-y)<x-y[/dispmath] odakle dobijemo pri dijeljenju s [inlmath](x-y)[/inlmath] nejednačinu
[dispmath]\frac{z}{y}>1[/dispmath] S obzirom da je [inlmath]z>1[/inlmath], mora biti [inlmath]y>0[/inlmath]. Iz treće nejednačine na sličan način dobijemo nejednačinu
[dispmath]\frac{y}{z}<1[/dispmath] Iz toga slijedi da je [inlmath]z>0[/inlmath], te [inlmath]z[/inlmath] mora biti manje od [inlmath]0[/inlmath]. Zajedno sa nejednakosti [inlmath]y>0[/inlmath] krši predpostavku da je [inlmath]y<z[/inlmath] i zbog toga rešenja sistema nema.

Nije pravilno reći "predpostavka" već pretpostavka.
Ostalo je manje više dobro-

Hvala na ovom rešenju. Ipak, ne znam kako si uspeo shvatiti ovo rešenje, budući da u njemu postoje greške (osim, ako ja ne previđam nešto).

jorga01 je napisao:S obzirom da je [inlmath]z>1[/inlmath],

Na osnovu čega ovo zaključujemo? Niti je dat taj uslov u zadatku, niti smo prilikom rešavanja pretpostavili taj slučaj.

jorga01 je napisao:Iz treće nejednačine na sličan način dobijemo nejednačinu
[dispmath]\frac{y}{z}<1[/dispmath]

Ja iz treće nejednačine dobijam [inlmath]\displaystyle\frac{x}{z}>1[/inlmath].

jorga01 je napisao:[dispmath]\frac{y}{z}<1[/dispmath] Iz toga slijedi da je [inlmath]z>0[/inlmath], te [inlmath]z[/inlmath] mora biti manje od [inlmath]0[/inlmath].

Kako iz [inlmath]\displaystyle\frac{y}{z}<1[/inlmath] sledi [inlmath]z>0[/inlmath]? I kako iz [inlmath]z>0[/inlmath] zaključujemo da je [inlmath]z<0[/inlmath]?

---

Ajd da napišem kako bih ja nastavio to rešenje. U redu je pretpostavka [inlmath]x<y<z[/inlmath], njom se ne umanjuje opštost, jer su, kao što si i napisao, ove tri nejednačine simetrične u odnosu na [inlmath]x[/inlmath], [inlmath]y[/inlmath] i [inlmath]z[/inlmath]. Iz prve, druge i treće nejednačine dobijamo, respektivno:
[dispmath]\frac{y}{x}<1\\
\frac{z}{y}>1\\
\frac{x}{z}>1[/dispmath] Sad možemo odvojeno posmatrati slučajeve [inlmath]z<0[/inlmath] i [inlmath]z>0[/inlmath].

Slučaj [inlmath]\underline{z<0}[/inlmath]:
Zbog pretpostavke [inlmath]x<y<z[/inlmath] tada su sve nepoznate negativne, pa i [inlmath]y[/inlmath]. Iz nejednačine [inlmath]\displaystyle\frac{z}{y}>1[/inlmath] tada sledi [inlmath]z<y[/inlmath], što je suprotno pretpostavci [inlmath]x<y<z[/inlmath].

Slučaj [inlmath]\underline{z>0}[/inlmath]:
Iz nejednačine [inlmath]\displaystyle\frac{x}{z}>1[/inlmath] tada sledi [inlmath]x>z[/inlmath], što je takođe suprotno pretpostavci [inlmath]x<y<z[/inlmath].

Hm, moguće..

Na koji način ste došli do ovog
[dispmath]\frac{x}{z}<1[/dispmath] ako može objašnjenje?

Ako može, bez persiranja. Nisam došao do [inlmath]\displaystyle\frac{x}{z}<1[/inlmath], već do [inlmath]\displaystyle\frac{x}{z}>1[/inlmath]. Do toga sam došao iz treće nejednačine, [inlmath]\displaystyle\frac{1}{z}\cdot x\cdot y<-z+x+y[/inlmath], tako što [inlmath]x[/inlmath] prebacim s desne na levu stranu,
[dispmath]\frac{1}{z}\cdot x\cdot y-x<y-z[/dispmath] a zatim na levoj strani izvučem zajednički [inlmath]\displaystyle\frac{x}{z}[/inlmath]:
[dispmath]\frac{x}{z}(y-z)<y-z[/dispmath] Podelimo sada obe strane faktorom [inlmath](y-z)[/inlmath], ali, budući da je [inlmath](y-z)[/inlmath] negativno (zbog uslova [inlmath]y<z[/inlmath]), pri tome će se promeniti smer znaka nejednakosti:
[dispmath]\frac{x}{z}>1[/dispmath] Kada sam ovo isto radio s prvom i drugom nejednačinom, tada sam delio sa [inlmath](z-x)[/inlmath] odnosno sa [inlmath](x-y)[/inlmath]. Zbog uslova [inlmath]x<y<z[/inlmath], faktor [inlmath](z-x)[/inlmath] je pozitivan pa tada nije dolazilo do promene smera znaka nejednakosti, zbog čega sam dobio [inlmath]\displaystyle\frac{y}{x}<1[/inlmath], dok je faktor [inlmath](x-y)[/inlmath] negativan, pa se tada menja smer znaka nejednakosti i dobija se [inlmath]\displaystyle\frac{z}{y}>1[/inlmath].