MATEMANIJA

Upravo sam rešio ovaj zadatak, i dobio sam tačno rešenje, ali stvarno nisam 100% siguran da li je dobro pa bih samo voleo ako nekom nije problem da baci pogled na ovo što ću da napišem i vidi da li sam to dobro odradio. Hvala unapred.

Zadatak glasi (MATF 2016. - 14. zadatak):

Proizvod svih rešenja jednačine [inlmath]\log_{36}x^2+\log_6\left(x+5\right)-1=0[/inlmath] je:
Tačan odgovor je [inlmath]6[/inlmath].

Oblast definisanosti je [inlmath]x\in(0,+\infty)[/inlmath]. Ja sam dalje iz ovoga primenio osobinu logaritma za proizvod, i došao do
[dispmath]\log_6\bigl(|x|(x+5)\bigr)=1[/dispmath] iz čega sam ja to samo razvio u
[dispmath]|x|x+5|x|-6=0[/dispmath] zatim posmatrao slučajeve kada je [inlmath]x\geq0[/inlmath], i [inlmath]x<0[/inlmath] i iz toga dobio 3 rešenja; za slučaj [inlmath]x\geq0,\;x=1[/inlmath], a za slučaj [inlmath]x<0,\;x=-2,\;x=-3[/inlmath].
Proizvod sva tri rešenja [inlmath]x_1x_2x_3=6[/inlmath].

Da li je ovo tačno? Mene ovde buni to što sam ja na početku postavio uslov [inlmath]x\in(0,+\infty)[/inlmath]. Možda sam postavio loš uslov? Da uslov nije [inlmath]x\in(-5,+\infty)[/inlmath]? Onda bi ovo rešenje na kraju imalo smisla. Gde (ne) grešim?

Zašto ti je uslov da [inlmath]x[/inlmath] bude pozitivno? Izrazi koji se nalaze u logaritmu moraju da budu pozitivni, a ne samo [inlmath]x[/inlmath]. Dakle, ako bi [inlmath]x[/inlmath] bilo [inlmath]-4[/inlmath] u oba slučaja bi imao logaritam pozitivnog broja. Prvi logaritam je definisan za svako [inlmath]x\ne0[/inlmath], a drugi logartam je definisan za svako [inlmath]x\gt-5[/inlmath]. Mislim da ti se ovde samo nameće kada će biti definisan njihov zbir.

To sam ja upravo i hteo da pitam - jer nisam bio siguran zbog uslova za [inlmath]\log_{36}x^2[/inlmath]. Na kraju krajeva ne znam ni zašto sam stavio tu da [inlmath]x>0[/inlmath], mislio sam da tako treba, ali kada malo razmislim zapravo to što ti kažeš je smisleno, [inlmath]x[/inlmath] je u tom prvom logaritmu mogao da bude bilo koji broj sem [inlmath]0[/inlmath]. Hvala ti puno.

Tinker je napisao:Da uslov nije [inlmath]x\in(-5,+\infty)[/inlmath]?

Samo da ti skrenem pažnju, nisam to eksplicitno naveo u prethodnom postu, moraš i nulu da isključiš iz ovog intervala.

Ma da, znam, radi se presek oba uslova, skontao sam šta si mislio.