MATEMANIJA

Jednacina
[dispmath]x^2+2(m-1)x+m+5=0[/dispmath]
gde je [inlmath]m[/inlmath] realan parametar, ima tacno jedno resenje na intervalu [inlmath](-2,3)[/inlmath] ako i samo ako [inlmath]m[/inlmath] pripada?
Zanima me kako se rade ove jednacine sa intervalom u globalu

Jednacina ima jedno resenje ako je njena diskriminanta jednaka nuli tj. [inlmath]D=0[/inlmath] odnosno [inlmath]D=b^2-4ac[/inlmath]. Nama je ovde [inlmath]D=m^2-3m-4[/inlmath] i kada to izjednacis sa nulom i resis tu jednacinu, dobija se [inlmath]m_1=4[/inlmath] i [inlmath]m_2=-1[/inlmath]. Sada zamenis prvo [inlmath]m_1[/inlmath] u polaznu jednacinu i dobijas [inlmath]x^2+6x+9=0[/inlmath] gde je resenje [inlmath]x=-3[/inlmath] ali posto ne pripada intervalu sa pocetka zadatka onda nam [inlmath]m_1[/inlmath] "ne odogovara". Isto uradis i za [inlmath]m_2[/inlmath] i kada ubacis u polaznu jednacinu dobija se [inlmath]x^2-4x+4=0[/inlmath] gde je resenje [inlmath]x=2[/inlmath] i to resenje pripada intervalu sa pocetka zadatka.
Nasa polazna jednacina ima tacno jedno resenje (koje iznosi [inlmath]x=2[/inlmath]) na intervalu [inlmath](-2,3)[/inlmath] ako je [inlmath]m=-1[/inlmath]

Hm, meni je tekst ovog zadatka dvosmislen, nisam siguran šta se tačno ovde traži...

Da li „ima tačno jedno rešenje na intervalu [inlmath]\left(-2,3\right)[/inlmath]“ znači da jednačina, uopšte, ima samo jedno rešenje, i da to jedno rešenje pripada intervalu [inlmath]\left(-2,3\right)[/inlmath]? Ako je tako, onda je rešenje ovo koje je Forza napisao.

Međutim, „ima tačno jedno rešenje na intervalu [inlmath]\left(-2,3\right)[/inlmath]“ može značiti i to, da jednačina može imati dva rešenja, pri čemu se jedno rešenje nalazi unutar datog intervala, a drugo rešenje se, ako postoji, nalazi izvan njega. U tom slučaju, jedno od rešenja po [inlmath]m[/inlmath] jeste ovo koje je Forza napisao, ali onda treba uraditi još ispitivanja, pošto može biti i još rešenja po [inlmath]m[/inlmath]...

Da li tekst zadatka glasi tačno ovako kako je napisano?

Daniel je napisao:Međutim, „ima tačno jedno rešenje na intervalu [inlmath]\left(-2,3\right)[/inlmath]“ može značiti i to, da jednačina ima dva rešenja, pri čemu se jedno rešenje nalazi unutar datog intervala, a drugo rešenje se nalazi izvan njega. U tom slučaju, jedno od rešenja po [inlmath]m[/inlmath] jeste ovo koje je Forza napisao, ali onda treba uraditi još ispitivanja, pošto može biti i još rešenja...

Da li tekst zadatka glasi tačno ovako kako je napisano?

Dok sam se tusirao bas sam razmisljao i o ovom drugom slucaju koji si ti pomenuo. Da sacekamo i vdimo sta ce @_Mita da napise

[dispmath]D=m^2-2m-4[/dispmath]

Zapravo, diskriminanta je ovde [inlmath]D=4m^2-12m-16[/inlmath]:[dispmath]D=\left[2\left(m-1\right)\right]^2-4\left(m+5\right)=4\left(m-1\right)^2-4m-20=[/dispmath][dispmath]=4\left(m^2-2m+1\right)-4m-20=4m^2-8m+4-4m-20=4m^2-12m-16[/dispmath]Ali, kad se to izjednači s nulom, može se kratiti sa [inlmath]4[/inlmath]:[dispmath]4m^2-12m-16=0\quad /:4[/dispmath][dispmath]m^2-{\color{red}3}m-4=0[/dispmath]

Nisam zna da se i [inlmath]m[/inlmath] računa ka [inlmath]c[/inlmath]...

Ma, znao si, sigurno... Nego si samo prevideo... Dešava se to...

Da, tekst je ovakav, a za [inlmath]m[/inlmath] se trazi interval. Interval koji se dobija je [dispmath]m<-1\quad\mbox{i}\quad m>4[/dispmath] znaci pojavljuju se obe vrednosti koje se dobijaju pri ispitivanju diskriminante, samo ne razumem kako

Dobro, to je interval u kome [inlmath]m[/inlmath] mora da se nalazi kako bi rešenja jednačine bila realna i različita, tj. za koja je, kako i sam kažeš, diskriminanta pozitivna, ali to nema veze s uslovom zadatka da se tačno jedno rešenje jednačine nalazi u intervalu [inlmath]\left(-2,3\right)[/inlmath].
Da bi se tačno jedno rešenje jendačine nalazilo unutar intervala [inlmath]\left(-2,3\right)[/inlmath] a drugo rešenje izvan tog intervala, rešenje po [inlmath]m[/inlmath] treba da bude [inlmath]m\le -\frac{8}{7}\;\lor\;m>\frac{13}{3}[/inlmath]. A evo i postupka:
[dispmath]x^2+2\left(m-1\right)x+m+5=0[/dispmath]
Prvo napišemo formule za rešenja ove jednačine:
[dispmath]x_{1,2}=\frac{-\cancel 2\left(m-1\right)\pm\sqrt{\cancel 4\left(m-1\right)^2-\cancel 4\left(m+5\right)}}{\cancel 2}[/dispmath][dispmath]x_{1,2}=1-m\pm\sqrt{\left(m-1\right)^2-\left(m+5\right)}[/dispmath][dispmath]x_{1,2}=1-m\pm\sqrt{m^2-2m+1-m-5}[/dispmath][dispmath]x_{1,2}=1-m\pm\sqrt{m^2-3m-4}[/dispmath][dispmath]x_1=1-m-\sqrt{m^2-3m-4},\qquad x_2=1-m+\sqrt{m^2-3m-4}[/dispmath]
Uslov da rešenja budu realna i različita je taj, da je diskriminanta veća od nule:
[dispmath]m^2-3m-4>0[/dispmath][dispmath]m_{1,2}=\frac{3\pm\sqrt{9+16}}{2}[/dispmath][dispmath]m_{1,2}=\frac{3\pm 5}{2}[/dispmath][dispmath]m_1=-1,\quad m_2=4[/dispmath][dispmath]\underline{m<-1\quad\lor\quad m>4}\quad\left(1\right)[/dispmath]
Ovo je, dakle, osnovni uslov koji sva rešenja koja u daljem postupku budemo dobili, moraju da zadovolje. Znači, koja god rešenja da dobijemo, moraćemo da tražimo presek tih, dobijenih rešenja s ovim uslovom.

Moguča su dva slučaja: prvi slučaj, da [inlmath]x_1[/inlmath] pripada intervalu [inlmath]\left(-2,3\right)[/inlmath] a da je [inlmath]x_2[/inlmath] izvan intervala [inlmath]\left(-2,3\right)[/inlmath] i drugi slučaj, da je [inlmath]x_1[/inlmath] izvan intervala [inlmath]\left(-2,3\right)[/inlmath] a da [inlmath]x_2[/inlmath] pripada intervalu [inlmath]\left(-2,3\right)[/inlmath].
Pošto je [inlmath]x_1<x_2[/inlmath], ta dva slučaja se svode na:
[inlmath]I[/inlmath] slučaj, da je [inlmath]x_1\le -2\;\land\;-2<x_2<3[/inlmath];
[inlmath]II[/inlmath] slučaj, da je [inlmath]-2<x_1<3\;\land\;x_2\ge 3[/inlmath].

[inlmath]I[/inlmath] slučaj:
[dispmath]x_1\le -2\quad\land\quad -2<x_2<3[/dispmath][dispmath]x_1\le -2\quad\land\quad x_2>-2\quad\land\quad x_2<3[/dispmath]
[inlmath]x_1\le -2:[/inlmath]
[dispmath]1-m-\sqrt{m^2-3m-4}\le -2[/dispmath][dispmath]3-m\le \sqrt{m^2-3m-4}[/dispmath]
Pre kvadriranja obe strane moramo diskutovati, jer se kvadriranjem gubi informacija o znaku (plus ili minus) jedne i druge strane).
Pošto je desna strana uvek [inlmath]\ge 0[/inlmath] (jer koren, po definiciji, uvek daje nenegativnu vrednost), a leva strana je manja ili jednaka od desne strane, nejednačina je zadovoljena uvek kada je leva strana manja ili jednaka od nule. Znači, jedno od rešenja ove nejednačine je [inlmath]3-m\le 0[/inlmath]. Pošto smo ovo konstatovali, možemo kvadrirati obe strane:
[dispmath]3-m\le 0\quad\lor\quad\left(3-m\right)^2\le m^2-3m-4[/dispmath][dispmath]m\ge 3\quad\lor\quad 9-6m+\cancel{m^2}\le\cancel{m^2}-3m-4[/dispmath][dispmath]m\ge 3\quad\lor\quad 13\le 3m[/dispmath][dispmath]m\ge 3\quad\lor\quad m\ge\frac{13}{3}[/dispmath]
Pošto je [inlmath]\frac{13}{3}>3[/inlmath], ovo se svodi na
[dispmath]\underline{m\ge 3}\quad\left(2\right)[/dispmath]
[inlmath]x_2>-2:[/inlmath]
[dispmath]1-m+\sqrt{m^2-3m-4}>-2[/dispmath][dispmath]\sqrt{m^2-3m-4}>m-3[/dispmath]
I ovde pre kvadriranja moramo diskutovati. Pošto je leva strana uvek [inlmath]\ge 0[/inlmath], a desna strana je manja od leve strane, nejednačina je zadovoljena uvek kada je desna strana manja od nule. Znači, jedno od rešenja ove nejednačine je [inlmath]m-3<0[/inlmath]. Pošto smo ovo konstatovali, možemo kvadrirati obe strane:
[dispmath]m-3<0\quad\lor\quad m^2-3m-4>\left(m-3\right)^2[/dispmath][dispmath]m<3\quad\lor\quad\cancel{m^2}-3m-4>\cancel{m^2}-6m+9[/dispmath][dispmath]m<3\quad\lor\quad 3m>13[/dispmath][dispmath]\underline{m<3\quad\lor\quad m>\frac{13}{3}}\quad\left(3\right)[/dispmath]
[inlmath]x_2<3:[/inlmath]
[dispmath]1-m+\sqrt{m^2-3m-4}<3[/dispmath][dispmath]\sqrt{m^2-3m-4}<m+2[/dispmath]
I opet, pre kvadriranja, diskutujemo. Pošto je leva strana uvek [inlmath]\ge 0[/inlmath], a desna strana je strogo veća od leve srrane, desna strana mora biti veća od nule, tj. [inlmath]m+2>0[/inlmath] (za razliku od situacije kod prethodnih kvadriranja, gde je taj uslov predstavljao dodatna moguća rešenja, ovde je to uslov koji mora biti ispunjen; zato smo u prethodnim slučajevima u daljem postupku pisali znak [inlmath]\lor[/inlmath] a sada ćemo pisati znak [inlmath]\land[/inlmath]). Kvadriramo obe strane:
[dispmath]m+2>0\quad\land\quad m^2-3m-4<\left(m+2\right)^2[/dispmath][dispmath]m>-2\quad\land\quad\cancel{m^2}-3m-4<\cancel{m^2}+4m+4[/dispmath][dispmath]m>-2\quad\land\quad 7m>-8[/dispmath][dispmath]m>-2\quad\land\quad m>-\frac{8}{7}[/dispmath][dispmath]\underline{m>-\frac{8}{7}}\quad\left(4\right)[/dispmath]
Presek rešenja [inlmath]\left(2\right)[/inlmath], [inlmath]\left(3\right)[/inlmath] i [inlmath]\left(4\right)[/inlmath] predstavljaće rešenja za [inlmath]I[/inlmath] slučaj:
[dispmath]m\ge 3\quad\land\quad\left(m<3\quad\lor\quad m>\frac{13}{3}\right)\quad\land\quad m>-\frac{8}{7}[/dispmath][dispmath]m>\frac{13}{3}\quad\land\quad m>-\frac{8}{7}[/dispmath][dispmath]\underline{m>\frac{13}{3}}\quad\left(5\right)[/dispmath]
[inlmath]II[/inlmath] slučaj:
[dispmath]-2<x_1<3\quad\land\quad x_2\ge 3[/dispmath][dispmath]x_1>-2\quad\land\quad x_1<3\quad\land\quad x_2\ge 3[/dispmath]
[inlmath]x_1>-2:[/inlmath]
[dispmath]1-m-\sqrt{m^2-3m-4}>-2[/dispmath][dispmath]3-m>\sqrt{m^2-3m-4}[/dispmath]
Pre kvadriranja – diskutovanje. Pošto desna strana ne može biti negativna, a leva strana je strogo veća od desne strane, leva strana mora biti pozitivna, tj. [inlmath]3-m>0[/inlmath]. Sada kvadriramo obe strane:
[dispmath]3-m>0\quad\land\quad\left(3-m\right)^2>m^2-3m-4[/dispmath][dispmath]m<3\quad\land\quad 9-6m+\cancel{m^2}>\cancel{m^2}-3m-4[/dispmath][dispmath]m<3\quad\land\quad 3m<13[/dispmath][dispmath]m<3\quad\land\quad m<\frac{13}{3}[/dispmath][dispmath]\underline{m<3}\quad\left(6\right)[/dispmath]
[inlmath]x_1<3:[/inlmath]
[dispmath]1-m-\sqrt{m^2-3m-4}<3[/dispmath][dispmath]-m-2<\sqrt{m^2-3m-4}[/dispmath]
Diskutujemo: pošto desna strana ne može biti negativna, a leva strana je strogo manja od desne strane, jednačina će biti zadovoljena uvek kada je leva strana manja od nule, tj. [inlmath]-m-2<0[/inlmath]. Sada kvadriramo obe strane:
[dispmath]-m-2<0\quad\lor\quad\left(-m-2\right)^2<m^2-3m-4[/dispmath][dispmath]m>-2\quad\lor\quad \cancel{m^2}+4m+4<\cancel{m^2}-3m-4[/dispmath][dispmath]m>-2\quad\lor\quad 7m<-8[/dispmath][dispmath]m>-2\quad\lor\quad m<-\frac{8}{7}[/dispmath][dispmath]\underline{m\in\mathrm{R}}\quad\left(7\right)[/dispmath]
[inlmath]x_2\ge 3:[/inlmath]
[dispmath]1-m+\sqrt{m^2-3m-4}\ge 3[/dispmath][dispmath]\sqrt{m^2-3m-4}\ge m+2[/dispmath]
Diskutujemo: pošto leva strana ne može biti negativna, a desna strana je manja ili jednaka od leve strane, jednačina će biti zadovoljena uvek kada je desna strana manja ili jednaka od nule, tj. [inlmath]m+2\le 0[/inlmath]. Sada kvadriramo obe strane:
[dispmath]m+2\le 0\quad\lor\quad m^2-3m-4\ge\left(m+2\right)^2[/dispmath][dispmath]m\le -2\quad\lor\quad\cancel{m^2}-3m-4\ge\cancel{m^2}+4m+4[/dispmath][dispmath]m\le -2\quad\lor\quad 7m\le -8[/dispmath][dispmath]m\le -2\quad\lor\quad m\le -\frac{8}{7}[/dispmath][dispmath]\underline{m\le -\frac{8}{7}}\quad\left(8\right)[/dispmath]
Presek rešenja [inlmath]\left(6\right)[/inlmath], [inlmath]\left(7\right)[/inlmath] i [inlmath]\left(8\right)[/inlmath] predstavljaće rešenja za [inlmath]II[/inlmath] slučaj:
[dispmath]m<3\quad\land\quad m\in\mathrm{R}\quad\land\quad m\le -\frac{8}{7}[/dispmath][dispmath]\underline{m\le -\frac{8}{7}}\quad\left(9\right)[/dispmath]
Unija rešenja [inlmath]I[/inlmath] slučaja [inlmath]\left(5\right)[/inlmath] i rešenja [inlmath]II[/inlmath] slučaja [inlmath]\left(9\right)[/inlmath] biće:
[dispmath]m>\frac{13}{3}\quad\lor\quad m\le -\frac{8}{7}[/dispmath]
i presek tih rešenja s početnim uslovima [inlmath]\left(1\right)[/inlmath], biće:
[dispmath]\left(m\le -\frac{8}{7}\quad\lor\quad m>\frac{13}{3}\right)\quad\land\quad\left(m<-1\quad\lor\quad m>4\right)[/dispmath][dispmath]\enclose{box}{m\le -\frac{8}{7}\quad\lor\quad m>\frac{13}{3}}[/dispmath]
Što se tiče rešenja koje je Forza ponudio, [inlmath]m=-1[/inlmath], ja bih ga, lično, dodao na ova rešenja, budući da u tom slučaju jednačina ima samo jedno rešenje [inlmath]x=2[/inlmath], pri čemu to jedno rešenje pripada zadatom intervalu, pa bi bilo [inlmath]m\le -\frac{8}{7}\;\lor\;m=-1\;\lor\;m>\frac{13}{3}[/inlmath].
Međutim, to može da se tumači i tako, da tada jednačina, zapravo, ima takođe dva rešenja, ali koja su jednaka, tj. [inlmath]x_1=x_2=2[/inlmath], tako da taj slučaj ne zadovoljava uslov zadatka, budući da i [inlmath]x_1[/inlmath] i [inlmath]x_2[/inlmath] pripadaju datom intervalu...
Zato, nisam baš siguran da li bi bilo pametno dodati to rešenje ili ne.