Prijemni ispit ETF – 29. jun 2015.
15. zadatak
15. Skup svih realnih vrednosti [inlmath]x[/inlmath] za koje važi nejednakost [inlmath]\left|4^{3x}-2^{4x+2}\cdot3^{x+1}+20\cdot12^x\cdot3^x\right|\ge8\cdot6^x\left(8^{x-1}+6^x\right)[/inlmath] je oblika (za neke realne brojeve [inlmath]a[/inlmath], [inlmath]b[/inlmath], [inlmath]c[/inlmath] i [inlmath]d[/inlmath] takve da je [inlmath]-\infty<a<b<c<d<+\infty[/inlmath]):
Resenje: [inlmath]\left(-\infty,a\right]\cup\left[b,c\right]\cup\left[d,+\infty\right)[/inlmath]
Dakle imamo [inlmath]2[/inlmath] slucaja. Kada je izraz u apsolutnoj veci ili jednak od izraza sa desne strane nejednakosti ili kada je izraz u apsolutnoj manji ili jednak od negativne vrednosti izraza sa desne strane nejednakosti
[dispmath]4^{3x}-2^{4x+2}\cdot3^{x+1}+20\cdot12^x\cdot3^x\ge8\cdot6^x\left(8^{x-1}+6^x\right)\\
2^{6x}-12\cdot2^{4x}\cdot3^x+20\cdot2^{2x}\cdot3^{2x}\ge2^{4x}\cdot3^x+8\cdot2^{2x}\cdot3^{2x}\\
2^{6x}-13\cdot2^{4x}\cdot3^x+12\cdot2^{2x}\cdot3^{2x}\ge0\Bigg/:\left(2^{2x}\cdot3^{2x}\right)\\
\frac{2^{4x}}{3^{2x}}-13\cdot\frac{2^{2x}}{3^x}+12\ge0\\
\left(\frac{4^x}{3^x}\right)^2-13\cdot\frac{4^x}{3^x}+12\ge0,\hspace{2cm}\frac{4^x}{3^x}=t\\
t^2-13t+12\ge0\\
(t-12)(t-1)\ge0\\
\frac{4^x}{3^x}\le1\hspace{3cm}\lor\hspace{3cm}\frac{4^x}{3^x}\ge12[/dispmath] I sta sad da radim sa ovim [inlmath]12[/inlmath]? Nikako ne vidim gresku :/
//EDIT:
U drugom slucaju se dobije [inlmath]\frac{4^x}{3^x}\ge4[/inlmath] i [inlmath]\frac{4^x}{3^x}\le7[/inlmath]. Nemojte samo da mi kazete da sam dobro uradio i da je sve sto je trebalo dalje da uradim jeste da logicki zakljucim da je [inlmath]a=0[/inlmath], [inlmath]b[/inlmath] odgovara onom [inlmath]x[/inlmath] u [inlmath]\frac{4^x}{3^x}\ge4[/inlmath], [inlmath]c[/inlmath] odgovara onom [inlmath]x[/inlmath] u [inlmath]\frac{4^x}{3^x}\le7[/inlmath] i [inlmath]d[/inlmath] odgovora onom [inlmath]x[/inlmath] u [inlmath]\frac{4^x}{3^x}\ge12[/inlmath]... Ovo mi sad sinulo ..