Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica OSTALE MATEMATIČKE OBLASTI ALGEBRA

Eksponencijalna nejednačina sa apsolutnom vrednošću – prijemni ETF 2015.

[inlmath]a^2-b^2=\left(a+b\right)\left(a-b\right)[/inlmath]
  • +1

Eksponencijalna nejednačina sa apsolutnom vrednošću – prijemni ETF 2015.

Postod diopo » Subota, 09. Jun 2018, 14:51

Prijemni ispit ETF – 29. jun 2015.
15. zadatak


15. Skup svih realnih vrednosti [inlmath]x[/inlmath] za koje važi nejednakost [inlmath]\left|4^{3x}-2^{4x+2}\cdot3^{x+1}+20\cdot12^x\cdot3^x\right|\ge8\cdot6^x\left(8^{x-1}+6^x\right)[/inlmath] je oblika (za neke realne brojeve [inlmath]a[/inlmath], [inlmath]b[/inlmath], [inlmath]c[/inlmath] i [inlmath]d[/inlmath] takve da je [inlmath]-\infty<a<b<c<d<+\infty[/inlmath]):
Resenje: [inlmath]\left(-\infty,a\right]\cup\left[b,c\right]\cup\left[d,+\infty\right)[/inlmath]

Dakle imamo [inlmath]2[/inlmath] slucaja. Kada je izraz u apsolutnoj veci ili jednak od izraza sa desne strane nejednakosti ili kada je izraz u apsolutnoj manji ili jednak od negativne vrednosti izraza sa desne strane nejednakosti
[dispmath]4^{3x}-2^{4x+2}\cdot3^{x+1}+20\cdot12^x\cdot3^x\ge8\cdot6^x\left(8^{x-1}+6^x\right)\\
2^{6x}-12\cdot2^{4x}\cdot3^x+20\cdot2^{2x}\cdot3^{2x}\ge2^{4x}\cdot3^x+8\cdot2^{2x}\cdot3^{2x}\\
2^{6x}-13\cdot2^{4x}\cdot3^x+12\cdot2^{2x}\cdot3^{2x}\ge0\Bigg/:\left(2^{2x}\cdot3^{2x}\right)\\
\frac{2^{4x}}{3^{2x}}-13\cdot\frac{2^{2x}}{3^x}+12\ge0\\
\left(\frac{4^x}{3^x}\right)^2-13\cdot\frac{4^x}{3^x}+12\ge0,\hspace{2cm}\frac{4^x}{3^x}=t\\
t^2-13t+12\ge0\\
(t-12)(t-1)\ge0\\
\frac{4^x}{3^x}\le1\hspace{3cm}\lor\hspace{3cm}\frac{4^x}{3^x}\ge12[/dispmath] I sta sad da radim sa ovim [inlmath]12[/inlmath]? Nikako ne vidim gresku :/

//EDIT:

U drugom slucaju se dobije [inlmath]\frac{4^x}{3^x}\ge4[/inlmath] i [inlmath]\frac{4^x}{3^x}\le7[/inlmath]. Nemojte samo da mi kazete da sam dobro uradio i da je sve sto je trebalo dalje da uradim jeste da logicki zakljucim da je [inlmath]a=0[/inlmath], [inlmath]b[/inlmath] odgovara onom [inlmath]x[/inlmath] u [inlmath]\frac{4^x}{3^x}\ge4[/inlmath], [inlmath]c[/inlmath] odgovara onom [inlmath]x[/inlmath] u [inlmath]\frac{4^x}{3^x}\le7[/inlmath] i [inlmath]d[/inlmath] odgovora onom [inlmath]x[/inlmath] u [inlmath]\frac{4^x}{3^x}\ge12[/inlmath]... Ovo mi sad sinulo .. :facepalm:
diopo  OFFLINE
 
Postovi: 58
Zahvalio se: 35 puta
Pohvaljen: 18 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+
  • +1

Re: Eksponencijalna nejednačina sa apsolutnom vrednošću – prijemni ETF 2015.

Postod Tinker » Subota, 09. Jun 2018, 16:11

Iskreno si me izgubio tu malo na kraju što se tiče rešenja, ja ću ti priložiti moje rešenje koje sam dobio kada sam radio ovaj zadatak (a veruj mi, znam kako ti je bilo radeći ga :D), pa ti uporedi.

Za početak ja bih izraz u apsolutnoj vrednosti i ostavio tako sve do trenutka dok nisam primoran da ga "razgranam", pa bih i tebi to preporučio.
Drugo:
[dispmath]\left|t^2-12t+20\right|\geq t+8,\quad t=\left(\frac{4}{3}\right)^x[/dispmath] Vidim da ti poprilično dobro ide sređivanje izraza, pa tebi ostavljam da nađeš kako sam došao do ovoga. Posle ovoga što sam ti dao mislim da je poprilično lako da ostatak zadatka odradiš sam - razgranaš ovo na dva slučaja i posle samo odradiš njihovu uniju. Ako ti treba pomoć oko sređivanja izraza javi. :)
Education is what remains after one has forgotten what one has learned in school - Albert Einstein
Tinker  OFFLINE
 
Postovi: 79
Zahvalio se: 54 puta
Pohvaljen: 35 puta

  • +1

Re: Eksponencijalna nejednačina sa apsolutnom vrednošću – prijemni ETF 2015.

Postod diopo » Subota, 09. Jun 2018, 18:07

Pa to je isto ono sto sam ja dobio :D

Ovo moze da se razbije na 2 slucaja,

  1. [inlmath]t^2-12t+20\ge t+8\\
    t^2-13t+12\ge0[/inlmath]

  2. [inlmath]t^2-12t+20\le-t-8\\
    t^2-11t+28\le0[/inlmath]
I upravo se ova resenja dobijaju. Mozda nisi pohvatao ovo sto sam rastavio na zagrade, ali to radim cisto da bih video koje su nule i da lakse predstavim na brojevnoj pravoj kako bih nasao resenje cele nejednacine.
diopo  OFFLINE
 
Postovi: 58
Zahvalio se: 35 puta
Pohvaljen: 18 puta

Re: Eksponencijalna nejednačina sa apsolutnom vrednošću – prijemni ETF 2015.

Postod Tinker » Subota, 09. Jun 2018, 19:04

Pa da u principu se svodi na isto, zato ti i rekoh da si me pogubio sa rešenjima malo tu na kraju... Ali bitno je da si rešio zadatak. :thumbup:
Education is what remains after one has forgotten what one has learned in school - Albert Einstein
Tinker  OFFLINE
 
Postovi: 79
Zahvalio se: 54 puta
Pohvaljen: 35 puta

Re: Eksponencijalna nejednačina sa apsolutnom vrednošću – prijemni ETF 2015.

Postod Micko » Utorak, 15. Jun 2021, 23:23

Zar nama ne trazi da odredimo interval gde se nalazi [inlmath]x[/inlmath] a ne [inlmath]t[/inlmath], trebamo sada vratiti smenu, a ne znam kako bih to uradio..
Poslednji put menjao miletrans dana Sreda, 16. Jun 2021, 07:24, izmenjena samo jedanput
Razlog: Dodavanje LaTex-a - Tačka 13. Pravilnika!
Micko  OFFLINE
 
Postovi: 11
Zahvalio se: 0 puta
Pohvaljen: 0 puta

  • +1

Re: Eksponencijalna nejednačina sa apsolutnom vrednošću – prijemni ETF 2015.

Postod Daniel » Četvrtak, 01. Jul 2021, 16:40

Pošto se (uz uslov [inlmath]t>0[/inlmath]) dobije [inlmath]t\in(0,1]\cup[4,7]\cup[12,+\infty)[/inlmath], a [inlmath]x=\log_\frac{4}{3}t[/inlmath], sledi da će rešenja po [inlmath]x[/inlmath] biti [inlmath]x\in(-\infty,0]\cup\left[\log_\frac{4}{3}4,\log_\frac{4}{3}7\right]\cup\left[\log_\frac{4}{3}12,+\infty\right)[/inlmath], a to opet odgovara ponuđenom odgovoru [inlmath]\left(-\infty,a\right]\cup\left[b,c\right]\cup\left[d,+\infty\right)[/inlmath] gde je [inlmath]-\infty<a<b<c<d<+\infty[/inlmath].

Naime, pošto je logaritam monotona i neprekidna funkcija (za osnovu veću od jedinice je rastuća), sledi da kada je [inlmath]a<b[/inlmath] ([inlmath]a[/inlmath] i [inlmath]b[/inlmath] pozitivni) tada će biti i [inlmath]\log_\frac{4}{3}a<\log_\frac{4}{3}b[/inlmath], što znači da nismo morali vraćati smenu da bismo zaključili da onaj poredak koji važi za [inlmath]t[/inlmath] mora važiti i za [inlmath]x[/inlmath].
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 9300
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5151 puta
Pohvaljen: 4951 puta


Povratak na ALGEBRA

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 27 gostiju


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Četvrtak, 28. Mart 2024, 09:53 • Sva vremena su u UTC + 1 sat
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs