MATEMANIJA

Probni prijemni ispit ETF - 16. jun 2018.
16. zadatak

Tekst je sledeći: Broj svih mogućih vrednosti realnog parametra [inlmath]\alpha\in(-9,9)[/inlmath] za koje jednačina
[dispmath]\log_3\left(4x-4x^2\right)=\left|\sin(\pi x+\alpha)-\frac{1}{2}\right|[/dispmath] ima tačno jedno rešenje jednak je:

Ponuđeni odgovori su [inlmath]A)\;0\enspace[/inlmath] [inlmath]B)\;2\enspace[/inlmath] [inlmath]C)\;4\enspace[/inlmath] [inlmath]D)\;6[/inlmath], a tačan odgovor je [inlmath]6[/inlmath]. Ne znam ni kako da počnem da radim ovaj zadatak, logaritam i ovaj sinus mi baš zadaju glavobolju. Nadam se da može neko da mi pomogne, i da nisam prekršio neko pravilo, Latex je ok ja mislim.

Sve OK.
Zadatak mi se veoma svideo, zaista je zanimljiv. Odredi kodomene leve i desne strane jednačine. To će ti dosta toga reći...

Moze li ovaj zadatak ipak malo detaljnije?

Bas zanimljiv zadatak.. i ja imam problema oko njega, ali imam ideju, pa cu je izneti ovde da vidim da li moze tako. Ovo me odmah vuce na graficko resavanje, medjutim, bilo mi je komplikovano da nacrtam. Eh sad, ovaj logaritam je zbog domena [inlmath]x\in(0,1)[/inlmath] uvek manji ili jednak nuli. Izraz u apsolutnoj je veci ili jednak nule, te zakljucujemo da ce imati 1 resenje ukoliko su oba izraza jednaka nuli. Izracunamo da je logaritam jednak [inlmath]0[/inlmath] za [inlmath]x=\frac{1}{2}[/inlmath]. To znaci da ce i druga funkcija (ova u apsolutnoj) biti [inlmath]0[/inlmath] za isto to [inlmath]x[/inlmath]. Kada funkciju sa desne strane izjednacimo sa [inlmath]0[/inlmath] dobijamo:
[dispmath]\sin\left(\frac{\pi}{2}+\alpha\right)=\frac{1}{2}\\
\alpha=-\frac{\pi}{3}+2k\pi\hspace{15mm}\lor\hspace{15mm}\alpha=\frac{\pi}{3}+2k\pi[/dispmath] E, sta dalje ? Da li mogu da se posluzim sa [inlmath]\pi\text{ rad}=180^\circ[/inlmath], pa odatle da nadjem kada je [inlmath]\alpha\in(-9,9)[/inlmath] koliko je to ustvari stepeni i onda menjam [inlmath]k[/inlmath] i gledam sta se nalazi u intervalu??

Nazalost nisam stigao da ga uradim na probnom,ali sledeci dan sam krenuo i zapravo i ja sam krenuo tom logikom,da mi je vrednost logaritma 0,jer kad bi bio od 0 do 1 onda bi ovo imalo 2 resenja jer je apsolutna vrednost,a kad bi logaritam imao vrednosr vecu od 1 onda ne bi postojalo resenje,dakleo ovaj izraz kod logaritma treba da je jednak jednak jedinici,gde bi onda x bilo jedna polovina.
Zatim ovaj sin treba da bude 0,pa on postaje sinus od pi pola + alfa,pa je to jednako ili pi kroz 6 ili 5pi kroz 6 naravno u oba slucaja vazi periodicnost +2kpi,zatim kad jednacinu sredite dobijete da je pi puta (1-6k) jednako 3alfa,iz cega se dobije da se pi puta (1-6k) krece od -27 do 27,iz cega se dobiju resenja da je k 0,-1 i 1,jer k mora da bude ceo broj,a kada bi bilo vise od toga,onda ne bi bilo u granici od -27 do 27,tu imate 3 resenja,zatim isto to uradite za 5pi kroz 6 i tu dobijete jos 3 resenja,pa je rezultat 6.
Izvinjavam se jos jednom na ne koriscenju latexa,nov sam ovde,pa jos ne znam da ga koristim,nadam se da je razumljivo,ako nije poslacu vam preko latexa ukoliko zelite

@elektrotehnicar, hvala što si pokušao da pomogneš, i za Latex bih ti progledao kroz prste kao i svakom novom korisniku ukoliko je sve ostalo u redu. Ali, rečenice su ti toliko konfuzne da ja ni nakon nekoliko čitanja nisam siguran šta si tačno želeo da kažeš. Molim te, pre nego što šalješ post, pročitaj lepo sve to što si napisao, stavivši se u poziciju nekog ko to treba da čita (i da razume) i koriguj šta treba.

diopo je napisao:Eh sad, ovaj logaritam je zbog domena [inlmath]x\in(0,1)[/inlmath] uvek manji ili jednak nuli. Izraz u apsolutnoj je veci ili jednak nule, te zakljucujemo da ce imati 1 resenje ukoliko su oba izraza jednaka nuli.

Hajd' da budemo precizni. Ja bih to preformulisao ovako: zaključujemo da sigurno nećemo imati nijedno rešenje ukoliko je bar jedan od ta dva izraza različit od nule.
Znači, tek kada su oba izraza jednaka nuli, tada možemo razmatrati mogućnost da ćemo imati tačno jedno rešenje.

diopo je napisao:Izracunamo da je logaritam jednak [inlmath]0[/inlmath] za [inlmath]x=\frac{1}{2}[/inlmath]. To znaci da ce i druga funkcija (ova u apsolutnoj) biti [inlmath]0[/inlmath] za isto to [inlmath]x[/inlmath].

Isto kao i malopre – bolje bi bilo reći: to znači da i druga funkcija (ova u apsolutnoj) treba da bude [inlmath]0[/inlmath] za isto to [inlmath]x[/inlmath], kako bi uslov zadatka bio zadovoljen.

diopo je napisao:[dispmath]\alpha=-\frac{\pi}{3}+2k\pi\hspace{15mm}\lor\hspace{15mm}\alpha=\frac{\pi}{3}+2k\pi[/dispmath] E, sta dalje ? Da li mogu da se posluzim sa [inlmath]\pi\text{ rad}=180^\circ[/inlmath], pa odatle da nadjem kada je [inlmath]\alpha\in(-9,9)[/inlmath] koliko je to ustvari stepeni i onda menjam [inlmath]k[/inlmath] i gledam sta se nalazi u intervalu??

Ništa sa stepenima. U tekstu zadatka se nigde ne pominju stepeni, sve je u radijanima.
Ja bih sad postavio nejednačine, na osnovu uslova zadatka [inlmath]\alpha\in(-9,9)[/inlmath]. Za slučaj [inlmath]\alpha=-\frac{\pi}{3}+2k\pi:[/inlmath]
[dispmath]\left.-9<-\frac{\pi}{3}+2k\pi<9\quad\right/:(2\pi)\\
-\frac{9}{2\pi}<-\frac{1}{6}+k<\frac{9}{2\pi}\\
\frac{1}{6}-\frac{9}{2\pi}<k<\frac{1}{6}+\frac{9}{2\pi}[/dispmath] Budući da je [inlmath]k[/inlmath] celobrojno, nije nam potreban kalkulator da bismo odredili između kojih celih brojeva se nalaze leva i desna strana ove nejednakosti. Lako je odrediti da se [inlmath]\frac{1}{6}-\frac{9}{2\pi}[/inlmath] nalazi unutar [inlmath](-2,-1)[/inlmath], a da se [inlmath]\frac{1}{6}+\frac{9}{2\pi}[/inlmath] nalazi unutar [inlmath](1,2)[/inlmath]. Nejednačinu, prema tome, možemo pisati kao
[dispmath]-1\le k\le1[/dispmath] tj. [inlmath]k\in\{-1,0,1\}[/inlmath], čime dobijamo da za ovaj slučaj [inlmath]\alpha[/inlmath] može imati tri vrednosti: [inlmath]\alpha\in\{-\frac{7\pi}{3},-\frac{\pi}{3},\frac{5\pi}{3}\}[/inlmath].
Sad se isto to uradi i za slučaj [inlmath]\alpha=\frac{\pi}{3}+2k\pi[/inlmath]...

Upravo to, izvinjavam se jos jednom na konfuznom odgovoru, dodao bih jos da ako neko nije siguran koliko resenja ima i kad ima jedno, moze jednostavno da graficki nacrta, iz toga se jasno vidi da ce imati resenje jedno i to samo u jednoj polovini.

Pozdrav,
Poceo sam raditi ovaj zadatak i nikako mi nije jasno kako je ovaj logaritam uvek manji ili jednak nuli, kao sto je jedan clan prethodno pomenuo.

diopo je napisao:Eh sad, ovaj logaritam je zbog domena [inlmath]x\in(0,1)[/inlmath] uvek manji ili jednak nuli.

Uradio sam domen logaritma i dobio da je [inlmath]x[/inlmath] vece od nule, a manje od [inlmath]1[/inlmath], sto se naravno podudara sa domenom koji ste prethodno definisali.
Dakle jedina stvar koja me buni jeste vrednost logaritma, odnosno da je on uvek manji ili jednak nuli.
Ako bi neko mogao da mi pojasni, bio bih mu/joj veoma zahvalan.

Za svako [inlmath]x\in\mathbb{R}[/inlmath] izraz [inlmath]4x-4x^2[/inlmath] uvek je [inlmath]\le1[/inlmath].
Za [inlmath]x\in(0,1)[/inlmath], taj izraz će još biti i pozitivan, tj. pripadaće intervalu [inlmath](0,1][/inlmath]. Samim tim, logaritam tog izraza biće negativan ili nula.