MATEMANIJA

Prijemni ispit ETF - 29. jun 2004.
19. zadatak

19. Neka je [inlmath]S[/inlmath] skup svih realnih brojeva [inlmath]x[/inlmath] za koje važi [inlmath]2\log_{\cos x}\sin x\le\log_{\sin x}\text{ctg }x[/inlmath] ([inlmath]0<x<\pi[/inlmath]). Tada je za neke brojeve [inlmath]a,b,c,d,e,f[/inlmath] ([inlmath]a<b<c<d<e<f[/inlmath]), skup [inlmath]S[/inlmath] oblika:
[inlmath]\enclose{circle}{A)}\;(a,b);\quad[/inlmath] [inlmath]B)\;[a,b]\cup[c,d];\quad[/inlmath] [inlmath]C)\;(a,b)\cup(c,d);\quad[/inlmath] [inlmath]D)\;[a,b];\quad[/inlmath] [inlmath]E)\;(a,b)\cup(c,d)\cup(e,f);\quad[/inlmath] [inlmath]N)\;\text{Ne znam.}[/inlmath]
[dispmath]2\log_{\cos x}\sin x\le\log_{\sin x}\text{ctg }x\qquad\left(0<x<\pi\right)\\
2\log_{\cos x}\sin x\le\log_{\sin x}\cos x-\log_{\sin x}\sin x\\
2\log_{\cos x}\sin x-\frac{1}{\log_{\cos x}\sin x}\le-1\\
2\left(\log_{\cos x}\sin x\right)^2-1\le-\log_{\cos x}\sin x\\
2\left(\log_{\cos x}\sin x\right)^2+\log_{\cos x}\sin x-1\le0\\
\frac{-1\pm\sqrt{1+8}}{4}\begin{array}{l} \nearrow\,^{\Large\enclose{circle}{-1}} \\ \searrow\,_{\Large\enclose{circle}{\frac{1}{2}}} \end{array}\\
\begin{matrix}
\log_{\cos x}\sin x\le-\log_{\cos x}\cos x\\
\sin x\le\cos^{-1}x
\end{matrix}\qquad\begin{matrix}
\log_{\cos x}\sin x\le\log_{\cos x}\cos x^{\frac{1}{2}}\\
\sin x\le\sqrt{\cos x}
\end{matrix}[/dispmath] Dodjem dovde i ne znam dalje

Imaš nekoliko grešaka, a skoro sve se odnose na orijentaciju znaka nejednakosti. Ajd da krenem od kraja...

Pretposlednji red, desna strana. Iz nejednačine[dispmath]\log_{\cos x}\sin x\le\log_{\cos x}\cos^\frac{1}{2} x[/dispmath] ne dobija se
[dispmath]\sin x\le\sqrt{\cos x}[/dispmath] Pošto je ovde osnova logaritma između nule i jedinice, logaritam će biti opadajuća funkcija (pogledaj grafik logaritamske funkcije), pa će biti (obrati pažnju na znak nejednakosti):
[dispmath]\sin x\ge\sqrt{\cos x}[/dispmath]
I, napomena oko notacije: [inlmath]\cos x^\frac{1}{2}[/inlmath], kako si ti napisao, bilo bi isto što i [inlmath]\cos\left(x^\frac{1}{2}\right)[/inlmath], dok se [inlmath]\left(\cos x\right)^\frac{1}{2}[/inlmath] (onako kako i treba da stoji) piše kao [inlmath]\cos^\frac{1}{2}x[/inlmath].

Pretposlednji red, leva strana. Rešavanjem kvadratne nejednačine treba da se dobije [inlmath]-1\le\log_{\cos x}\sin x\le\frac{1}{2}[/inlmath], pa, pošto je [inlmath]\log_{\cos x}\sin x\ge-1[/inlmath], tada će biti [inlmath]\log_{\cos x}\sin x\ge-\log_{\cos x}\cos x[/inlmath], dakle, drugačije okrenut znak nejednakosti od onoga kako si napisao. Međutim, pošto si ovde takođe prevideo da je za osnovu logaritma između nule i jedinice logaritam opadajuća funkcija, u sledećem koraku to postaje [inlmath]\sin x\le\frac{1}{\cos x}[/inlmath], dakle, s orijentacjiom znaka kakvu si i ti dobio. Iako si tu napravio dve greške, one su, da kažem, međusobno suprotne, pa jedna poništi drugu.
(Inače, ja izbegavam da pišem [inlmath]\cos^{-1}x[/inlmath], uvek radije pišem [inlmath]\frac{1}{\cos x}[/inlmath], budući da [inlmath]\cos^{-1}x[/inlmath] može da ima značenje i [inlmath]\arccos x[/inlmath], kao što i piše na većini kalkulatora.)

I, još jedna greška, treći red odozgo:
[dispmath]2\log_{\cos x}\sin x-\frac{1}{\log_{\cos x}\sin x}\le-1[/dispmath] Ovo ne smeš tek tako da množiš sa [inlmath]\log_{\cos x}\sin x[/inlmath], budući da se radi o nejednačini, a ne znamo kog je predznaka [inlmath]\log_{\cos x}\sin x[/inlmath]. Ako je veće od nule, pomnožimo i sve je u redu. Ali, ako je manje od nule, tada se množenjem nejednačine tim izrazom menja znak nejednakosti. Zato je potrebno da postupak razdvojimo na dva slučaja: kada je [inlmath]\log_{\cos x}\sin x>0[/inlmath] i kada je [inlmath]\log_{\cos x}\sin x<0[/inlmath].

I, naravno, potrebno je i da postaviš početne uslove, ne znam da li si to uradio: pošto se i [inlmath]\sin x[/inlmath] i [inlmath]\cos x[/inlmath] nalaze u argumentima i osnovama logaritama, potrebno je da i jedan i drugi budu strogo veći od nule i strogo manji od jedinice:

[inlmath]\left.\begin{array}{ll}
0<\sin x<1\quad\Longrightarrow\quad2k\pi<x<\pi+2k\pi\\
0<\cos x<1\quad\Longrightarrow\quad-\frac{\pi}{2}+2k\pi<x<\frac{\pi}{2}+2k\pi
\end{array}\right\}\quad\Longrightarrow\quad2k\pi<x<\frac{\pi}{2}+2k\pi[/inlmath]
U preseku sa zadatim uslovom [inlmath]0<x<\pi\quad\Longrightarrow\quad\underline{0<x<\frac{\pi}{2}}[/inlmath]

Rešavanjem nejednačine
[dispmath]2\log_{\cos x}\sin x-\frac{1}{\log_{\cos x}\sin x}\le-1[/dispmath] tako što posebno radimo za slučaj [inlmath]\log_{\cos x}\sin x>0[/inlmath], a posebno slučaj [inlmath]\log_{\cos x}\sin x<0[/inlmath], dobija se
[dispmath]\log_{\cos x}\sin x\le-1\quad\lor\quad0<\log_{\cos x}\sin x\le\frac{1}{2}[/dispmath][dispmath]\log_{\cos x}\sin x\le-\log_{\cos x}\cos x\quad\lor\quad\log_{\cos x}1<\log_{\cos x}\sin x\le\frac{1}{2}\log_{\cos x}\cos x[/dispmath][dispmath]\log_{\cos x}\sin x\le\log_{\cos x}\frac{1}{\cos x}\quad\lor\quad\log_{\cos x}1<\log_{\cos x}\sin x\le\log_{\cos x}\sqrt{\cos x}[/dispmath] Pri oslobađanju od logaritma vodimo računa o tome da je ovde osnova logaritma između nule i jedinice, pa je logaritam opadajuća funkcija i, prema tome, menja se znak:
[dispmath]\sin x\ge\frac{1}{\cos x}\quad\lor\quad\sqrt{\cos x}\le\sin x<1[/dispmath] Pošto je, prema početnim uslovima, [inlmath]\cos x>0[/inlmath], prvu nejednačinu možemo pomnožiti sa [inlmath]\cos x>0[/inlmath], ne menjajući znak nejednakosti; pošto je, takođe prema početnim uslovima, [inlmath]\sin x<1[/inlmath], možemo taj deo i izostaviti iz druge nejednačine:[dispmath]\sin x\cos x\ge1\quad\lor\quad\sqrt{\cos x}\le\sin x[/dispmath] Pošto je prema početnim uslovima i [inlmath]\sin x>0[/inlmath], obe strane druge jednačine su veće od nule, pa ih možemo kvadrirati, ne narušavajući jednakost:
[dispmath]2\sin x\cos x\ge2\quad\lor\quad\cos x\le\sin^2x[/dispmath][dispmath]\sin2x\ge2\quad\lor\quad\cos x\le1-\cos^2x[/dispmath][dispmath]\bot\quad\lor\quad\cos^2x+\cos x-1\le0[/dispmath][dispmath]\cos^2x+\cos x-1\le0[/dispmath][dispmath](\cos x)_{1,2}=\frac{-1\pm\sqrt5}{2}[/dispmath][dispmath]\frac{-1-\sqrt5}{2}\le\cos x\le\frac{\sqrt5-1}{2}[/dispmath] u preseku s početnim uslovom [inlmath]0<\cos x<1[/inlmath]:
[dispmath]0<\cos x\le\frac{\sqrt5-1}{2}[/dispmath] [inlmath]\left.\begin{array}{ll}
\cos x>0\quad\land\quad 0<x<\frac{\pi}{2}\quad\Longrightarrow\quad0<x<\frac{\pi}{2}\\
\cos x\le\frac{\sqrt5-1}{2}\quad\land\quad0<x<\frac{\pi}{2}\quad\Longrightarrow\quad\arccos\frac{\sqrt5-1}{2}\le x<\frac{\pi}{2}
\end{array}\right\}\quad\Longrightarrow\quad x\in\left[\arccos\frac{\sqrt5-1}{2},\frac{\pi}{2}\right)[/inlmath]

E sad, ovog oblika nema među ponuđenim odgovorima, trebalo bi da bude [inlmath][a,b)[/inlmath]... Mada je ovo rešenje koje sam dobio provereno tačno...

Auu, pa ja tek sad vidim koliko ustvari ne znam
Hvala na odgovoru.

Pozdrav! Tekst zadatka je sledeći:
Neka je [inlmath]S[/inlmath] skup svih realnih brojeva [inlmath]x[/inlmath] za koje važi [inlmath]2\log_{\cos x}\sin x\le\log_{\sin x}\text{ctg }x[/inlmath] [inlmath](0<x<\pi)[/inlmath]. Tada je za neke brojeve [inlmath]a,b,c,d,e,f\;(a<b<c<d<e<f)[/inlmath], skup [inlmath]S[/inlmath] oblika
[dispmath]\enclose{circle}{\;A)\;(a,b)\;}\quad B)\;[a,b]\cup[c,d]\quad C)\;(a,b)\cup(c,d)\quad D)\;(a,b)\cup(c,d)\cup(e,f)[/dispmath] (Budući da zadatak nije iz zbirke, ne garantujem tačnost rešenja.)
Moj postupak je sledeći:
[dispmath]\cos x>0\;\land\;\sin x>0\;\Longrightarrow\;x\in\left(2k\pi,\frac{\pi}{2}+2k\pi\right);\;k\in\mathbb{Z}[/dispmath] Uslovi [inlmath]\text{ctg }x>0,\;\sin x\neq1,\;\cos x\neq1[/inlmath] su obuhvaćeni uslovima [inlmath]\cos x>0,\;\sin x>0[/inlmath]
Transformišem početnu nejednačinu:
[dispmath]2\log_{\cos x}\sin x\le\log_{\sin x}\text{ctg }x\\
2\log_{\cos x}\sin x-\log_{\sin x}\cos x+1\le0\\
\log_{\cos x}\sin x=t,\;t>0\\
2t-\frac{1}{t}+1\le0\;\Longrightarrow\;t\in\left(-\infty,-1\right]\cup\left(0,\frac{1}{2}\right][/dispmath] Zbog uslova [inlmath]t>0[/inlmath] slučaj [inlmath]\left(-\infty,-1\right][/inlmath] otpada, pa ostaje samo [inlmath]t\in\left(0,\frac{1}{2}\right][/inlmath]
[dispmath]0<\log_{\cos x}\sin x\le\frac{1}{2}\;\Longrightarrow\;\log_{\cos x}\sin x\le\frac{1}{2}\\
\sin x\le\sqrt{\cos x}\\
\cos^2x+\cos x-1\ge0\\
\cos x\ge\frac{-1+\sqrt5}{2}\\
\enclose{box}{x\in\left[\arccos\frac{-1+\sqrt5}{2}+2k\pi,\frac{\pi}{2}+2k\pi\right);\;k\in\mathbb{Z}}[/dispmath]
Dakle, traženi skup [inlmath]S[/inlmath] je oblika [inlmath][a, b)[/inlmath].
Ocigledno se moje rešenje ne poklapa sa rešenjem nejenačine, pa me interesuje gde sam pogrešio. Hvala unapred!

Frank je napisao:(Budući da zadatak nije iz zbirke, ne garantujem tačnost rešenja.)

Ja tek ne bih garantovao tačnost rešenja iz zbirke, s obzirom na učestalost grešaka u istima. BTW sme li se znati odakle je ovaj zadatak, po načinu ponuđenih odgovora liči mi na neki prijemni?

Ovde zaista treba da se dobije [inlmath][a,b)[/inlmath], kako si i ti dobio. Međutim, imaš dve greške, pri čemu je jedna poništila drugu, zbog čega si i došao do tačnog rešenja:

Frank je napisao:[dispmath]0<\log_{\cos x}\sin x\le\frac{1}{2}\;\Longrightarrow\;\log_{\cos x}\sin x\le\frac{1}{2}\\
\sin x\le\sqrt{\cos x}[/dispmath]

Ovde si obe strane prebacio u eksponent kosinusa. Međutim, prevideo si to da kosinus ne može biti veći od jedinice, štaviše, po prethodnim uslovima pripada intervalu [inlmath](0,1)[/inlmath], i da je, samim tim, [inlmath]f(t)=(\cos x)^t[/inlmath] opadajuća funkcija. Smer znaka nejednakosti mora zato da se promeni.

Frank je napisao:[dispmath]\cos x\ge\frac{-1+\sqrt5}{2}\\
\enclose{box}{x\in\left[\arccos\frac{-1+\sqrt5}{2}+2k\pi,\frac{\pi}{2}+2k\pi\right);\;k\in\mathbb{Z}}[/dispmath]

I ovde isti slučaj. Za prvi kvadrant, koji ovde posmatramo, [inlmath]\arccos x[/inlmath] je opadajuća funkcija, zbog čega i ovde mora da se promeni smer znaka nejednakosti. Uostalom, ako i zamisliš na trigonometrijskoj kružnici one vrednosti [inlmath]x[/inlmath] u prvom kvadrantu za koje će [inlmath]\cos x[/inlmath] biti veće od neke vrednosti, te vrednosti [inlmath]x[/inlmath] će biti manje (a ne veće) od neke vrednosti, zar ne?

I, u konačnom rešenju ti ne treba [inlmath]+2k\pi[/inlmath], zbog uslova zadatka [inlmath]0<x<\pi[/inlmath].

Daniel je napisao:BTW sme li se znati odakle je ovaj zadatak, po načinu ponuđenih odgovora liči mi na neki prijemni?

Ni sam ne znam kako sam na njega napatrljao na netu. Moguće da je sa nekog prijemnog...

Daniel je napisao:Međutim, prevideo si to da kosinus ne može biti veći od jedinice, štaviše, po prethodnim uslovima pripada intervalu [inlmath](0,1)[/inlmath], i da je, samim tim, [inlmath]f(t)=(\cos x)^t[/inlmath] opadajuća funkcija. Smer znaka nejednakosti mora zato da se promeni.

Ovaj deo nisam najbolje razumeo, tj. kako kosinus nekog ugla može da bude veći od jedinice. Kosinus se nalazi u intervalu [inlmath](0,1)[/inlmath] i zbog toga okrećem znak nejednakosti. (ne znam što ga nisam okrenuo u postu s početka teme)

Frank je napisao:[dispmath]\enclose{box}{x\in\left[\arccos\frac{-1+\sqrt5}{2}+2k\pi,\frac{\pi}{2}+2k\pi\right);\;k\in\mathbb{Z}}[/dispmath]

Pod ovim sam podrazumevao "univerzalno" rešenje nejednačine i zbog toga sam napisao [inlmath]+2k\pi[/inlmath]. Posle toga mi nije bilo teško da nadjem rešenja na intervalu [inlmath]0<x<\pi[/inlmath].

Frank je napisao:Ovaj deo nisam najbolje razumeo, tj. kako kosinus nekog ugla može da bude veći od jedinice.

Niti u ovom delu koji si citirao, niti u bilo kom drugom delu nisam rekao da kosinus može biti veći od jedinice. Ako sam zaista to napisao, to je naravno bila greška, ali ja tako nešto ni u jednom svom postu nisam uspeo da pronađem.

Frank je napisao:Kosinus se nalazi u intervalu [inlmath](0,1)[/inlmath] i zbog toga okrećem znak nejednakosti. (ne znam što ga nisam okrenuo u postu s početka teme)

Upravo na to sam ti i skrenuo pažnju.

Izvinjavam se. Očigledno ovaj deo (citirani) nisam protumačio kako treba

Daniel je napisao:prevideo si to da kosinus ne može biti veći od jedinice

Pa, da. Funkcija [inlmath]f(t)=a^t[/inlmath] je (za pozitivno [inlmath]a[/inlmath]) rastuća kada je [inlmath]a>1[/inlmath], a opadajuća kada je [inlmath]a<1[/inlmath]. Pošto kosinus ne može biti veći od jedinice (a u ovom zadatku ne može biti ni jedinica i mora biti pozitivan), funkcija [inlmath]f(t)=\cos^tx[/inlmath] mora biti opadajuća. O tome ti govorim.

Aha, sad je sve OK. Hvala!

Zadatak je sa prijemnog ispita za upis na ETF 2004. godine, već je obrađen na Matemaniji, u ovoj temi.

Zahvaljujem. Spojio sam.