MATEMANIJA

Kao što sam navela u naslovu, u zadatku se traži proizvod najvećeg i najmanjeg rešenja
[dispmath]\sqrt{5+2\sqrt6}^x+\sqrt{5-2\sqrt6}^x\le100[/dispmath] Pokušavala sam da [inlmath]\sqrt{5+2\sqrt6}^x[/inlmath] zamenim sa [inlmath]t[/inlmath] i da rešim tako što nađem [inlmath]a,b,c[/inlmath], ali dobijem veliki broj za [inlmath]D[/inlmath] i sad evo sedim i plačem. Svaka pomoć je dobrodošla

PS. Izvinjavam se ako sam loše pisala.

Ako može pojašnjenje, da li [inlmath]\sqrt{5+2\sqrt6}^x[/inlmath] zapravo treba da glasi [inlmath]\left(\sqrt{5+2\sqrt6}\right)^x[/inlmath]?
Pod pretpostavkom da je tako, možeš krenuti s tom smenom, a zatim iskoristiti činjenicu da je proizvod ova dva korena jednak jedinici.

Da, izvinjavam se.
Ne mogu da kažem da mi je baš jasno. Uglavnom, smenom dođem do ovog koraka
[dispmath]t +\frac{1}{t}\le100[/dispmath] i pomnožim sve sa [inlmath]t[/inlmath]

Da, tako bi trebalo da se radi. Rešiš kvadratnu nejednačinu po [inlmath]t[/inlmath] i uočiš da je [inlmath]\left(\sqrt{5+2\sqrt6}\right)^x[/inlmath] rastuća funkcija (tj. što je [inlmath]x[/inlmath] veće to je [inlmath]t[/inlmath] veće, kao i obratno), zbog čega najmanjem rešenju po [inlmath]t[/inlmath] odgovara najmanje rešenje po [inlmath]x[/inlmath] (analogno i za najveće rešenje). Međutim, mislim da u ovom zadatku nešto ne štima, budući da se dobiju vrlo nezgodna rešenja. Proveri još jednom da li si dobro napisala/prepisala ceo tekst zadatka.
Odakle je ovaj zadatak?

Zbirka za prijemni Mašinskog fakulteta.
Proverila i sve je tako kako sam napisala, osim ovoga što si me ispravio za zagradu.

Inače, rešenje je [inlmath]-16[/inlmath]

E da, hvala ti puno na odgovorima i izdvojenom vremenu.

Zašto odmah nisi napisala rešenje?
Zaista me interesuje razlog, jer je to opšta pojava na ovom forumu – da ljudi imaju pred sobom rešenje a ne prilože ga, iako znaju da bi to drugima dosta pomoglo.
S ovim rešenjem stvar je sad sasvim jasna – na desnoj strani nejednačine ne treba da stoji [inlmath]100[/inlmath], već [inlmath]98[/inlmath]. S time se sve fino uklapa, i dobija se navedeno rešenje.

Ovde piše [inlmath]100[/inlmath], mada moguće da je greška.
Hvala još jednom,
Što se tiče rešenja, znam za ubuduće i izvinjavam se.

Greška je sigurno. Kad bi stajala stotka, rešenja bi bila [inlmath]x_1=-x_2\approx4,018[/inlmath], a njihov proizvod bi bio [inlmath]\approx-16,14[/inlmath].

Inače, sasvim je logično da mora biti [inlmath]x_1=-x_2[/inlmath] (gde su [inlmath]x_1[/inlmath] i [inlmath]x_2[/inlmath] najveća i najmanja vrednost), jer se vrlo lako može pokazati da je [inlmath]\left(\sqrt{5+2\sqrt6}\right)^x+\left(\sqrt{5-2\sqrt6}\right)^x[/inlmath] parna funkcija po [inlmath]x[/inlmath]:
[dispmath]\left(\sqrt{5+2\sqrt6}\right)^x+\left(\sqrt{5-2\sqrt6}\right)^x=\\
=\left(\sqrt{5+2\sqrt6}\right)^x+\left(\frac{1}{\sqrt{5+2\sqrt6}}\right)^x=\\
=\left(\sqrt{5+2\sqrt6}\right)^x+\left(\sqrt{5+2\sqrt6}\right)^{-x}[/dispmath]

Zamolio bih za još jedno pojašnjenjce. U tekstu zadatka u samom postu napisala si

mica je napisao:Kao što sam navela u naslovu, u zadatku se traži proizvod najvećeg i najmanjeg rešenja
[dispmath]\sqrt{5+2\sqrt6}^x+\sqrt{5-2\sqrt6}^x\le100[/dispmath]

dakle ne celobrojna rešenja nego samo rešenja. Međutim, u naslovu si navela celobrojna rešenja. Šta je od ovoga tačno? Ako je tačna formulacija iz naslova, tj. da se razmatraju celobrojna rešenja, onda ima smisla i ova stotka na desnoj strani nejednačine, kako i stoji u zbirci.

E da, traže se celobrojna rešenja.
Sad mi ništa nije jasno, kako celobrojna rešenja od svega ovoga i kako uopšte da rešim ovu nejednačinu

Ovo mozda nije od pomoci u ovom zadatku, ali kod slicnih primera je dosta cesto od koristi.
[dispmath]\sqrt{5+2\sqrt6}=\sqrt{\left(\sqrt2+\sqrt3\right)^2}=\sqrt2+\sqrt3\\
\sqrt{5-2\sqrt6}=\sqrt{\left(\sqrt2-\sqrt3\right)^2}=\left|\sqrt2-\sqrt3\right|=\sqrt3-\sqrt2[/dispmath] Dosta je tesko resiti neki od ovakvih primera ako ne primenimo ovo, mada eto ovaj nije takav.

Da, od pomoći je u ovom zadatku (što ću pokazati u nastavku posta). Taj izraz se može dobiti preko gotove formule za ugneždene korene (ima je u ovoj temi), a ko ne želi da pamti formulu može ga izvesti i ručno, kao što sam pokazao ovde.

@mica, imaš zasad blagu opomenu zbog tačke 11. Pravilnika (izostavljanje bitnih podataka u tekstu zadatka, kao i rezultata). Što se rešavanja tiče, pošto su ovde rešenja celobrojna, nije veliki posao ovo rešiti i „napipavanjem“, ako uočimo sledeće:

• Kao što već napisah, izraz na levoj strani nejednačine predstavlja parnu funkciju po [inlmath]x[/inlmath]. To znači da, ako nađemo najveće celobrojno rešenje [inlmath]x_1[/inlmath], tada će najmanje celobrojno rešenje biti [inlmath]x_2=-x_1[/inlmath]. Odatle je traženi proizvod jednak [inlmath]x_1x_2=-x_1^2[/inlmath]. Znači, dovoljno je naći samo najveće celobrojno rešenje, pri čemu znamo da ono mora biti pozitivno.
• Za pozitivno [inlmath]x[/inlmath], izraz na levoj strani nejednačine je rastuća funkcija po [inlmath]x[/inlmath] (što se može pokazati preko izvoda). To znači, ako za neko [inlmath]x=a[/inlmath] nejednačina jeste zadovoljena, a za [inlmath]x=b[/inlmath] nije zadovoljena, onda se najveće celobrojno rešenje mora nalaziti u intervalu [inlmath][a,b)[/inlmath].

Za parno [inlmath]x[/inlmath] može se kratiti kvadratni koren i eksponent [inlmath]x[/inlmath], pri čemu u eksponentu ostaje [inlmath]\frac{x}{2}[/inlmath], koje je takođe celobrojno. Za neparno [inlmath]x[/inlmath] u igru ulazi izraz koji je DzoniMaler napisao.

Rešeno i shvaćeno. Zapravo je baš prosto, nego ne razmišljam.
Hvala puno!