blake je napisao:Ali kako znaš da mora biti prvi uvjet manje ili jednako, a ne samo manje?
[inlmath]x\le -1\quad\Rightarrow\quad x+1\le 0,\quad 2-x>0[/inlmath]
U ovom zadatku u svakom slučaju moramo razmatrati tri slučaja, budući da imamo dve kritične tačke, a te dve kritične tačke dele interval realnih brojeva [inlmath]\left(-\infty,+\infty\right)[/inlmath] na tri podintervala, pa otuda tri slučaja koja razmatramo. E sad, što se jednakosti tiče, potpuno je svejedno kojim ćemo od ta tri slučaja obuhvatiti koju jednakost, bitno je samo da svaka jednakost bude obuhvaćena jednom i samo jednom. Znači, ja sam razmatrao ovako:
[inlmath]1^\circ\quad x\le -1\qquad 2^\circ\quad -1<x\le 2\qquad 3^\circ\quad x>2\quad[/inlmath] (Ovde sam mogućnost [inlmath]x=-1[/inlmath] obuhvatio [inlmath]1^\circ[/inlmath] slučajem, ali je zato nisam obuhvatio [inlmath]2^\circ[/inlmath] slučajem; [inlmath]2^\circ[/inlmath] slučajem sam obuhvatio mogućnost [inlmath]x=2[/inlmath], ali je zato nisam obuhvatio [inlmath]3^\circ[/inlmath] slučajem.)
Ali, mogao sam i ovako:
[inlmath]1^\circ\quad x<-1\qquad 2^\circ\quad -1\le x<2\qquad 3^\circ\quad x\ge 2[/inlmath]
Ili ovako:
[inlmath]1^\circ\quad x<-1\qquad 2^\circ\quad -1\le x\le 2\qquad 3^\circ\quad x>2[/inlmath]
Ili ovako:
[inlmath]1^\circ\quad x\le -1\qquad 2^\circ\quad -1<x<2\qquad 3^\circ\quad x\ge 2[/inlmath]
Dakle, bitno je samo da jednakost [inlmath]x=-1[/inlmath] bude obuhvaćena tačno jednim razmatranim slučajem. Isto važi i za jednakost [inlmath]x=2[/inlmath].
Ako te buni zašto su jednakosti uopšte neophodne, neophodne su jer bi bez njih tačke na brojnoj osi [inlmath]x=-1[/inlmath] i [inlmath]x=2[/inlmath] ostale neobuhvaćene, pa samim tim ne bismo obuhvatili sve slučajeve vrednosti [inlmath]x[/inlmath] iz skupa realnih brojeva.
blake je napisao:i ako je pri kraju [inlmath]a^2\le 4[/inlmath] kako dobijemo da je [inlmath]a\le -2\;\lor\;a\ge 2[/inlmath]
Ne, na kraju treba da se dobije [inlmath]a^2\ge 4[/inlmath], a odatle sledi [inlmath]a\le -2\;\lor\;a\ge 2[/inlmath]
blake je napisao:Daniel je napisao:[inlmath]2^\circ[/inlmath]
[inlmath]-1<x\le 2\quad\Rightarrow\quad x+1>0,\quad 2-x\ge 0[/inlmath]
Ovo mi opet nije jasno na početku ako je [inlmath]x[/inlmath] između [inlmath]-1[/inlmath] i [inlmath]2[/inlmath] (i zašto uključuje [inlmath]2[/inlmath]?). Kako si siguran u ovo iza strelice?
Zašto uključuje [inlmath]2[/inlmath], već sam objasnio. A evo kako sledi izraz iza strelice:
po pretpostavci, [inlmath]x>-1[/inlmath]; dodamo [inlmath]1[/inlmath] i na levu i na desnu stranu i dobijemo [inlmath]x+1>0[/inlmath]
takođe, po pretpostavci, [inlmath]x\le 2[/inlmath]; oduzmemo [inlmath]x[/inlmath] i od leve i od desne strane i dobijemo [inlmath]0\le 2-x[/inlmath], tj. [inlmath]2-x\ge 0[/inlmath]
blake je napisao:Daniel je napisao:[inlmath]3^\circ[/inlmath]
[inlmath]x>2\quad\Rightarrow\quad x+1>0,\quad 2-x<0[/inlmath]
Isto, kako je sad [inlmath]x+1>0[/inlmath], a [inlmath]2-x<0[/inlmath] ???
po pretpostavci, [inlmath]x>2[/inlmath]; dodamo [inlmath]1[/inlmath] i na levu i na desnu stranu i dobijemo [inlmath]x+1>3[/inlmath], a kako je [inlmath]3>0[/inlmath], to primenom osobine tranzitivnosti koja važi za relaciju nejednakosti [inlmath]\left(a>b\:\:\wedge\:\: b>c\:\:\Rightarrow\:\: a>c\right)[/inlmath] dobijamo i da je [inlmath]x+1>0[/inlmath]
blake je napisao:Općenito računanje s apsolutnim vrijednostima mi ne ide u skladu s nekom mojom logikom
Prečudni su mi ti tipovi zadataka di npr kaže: Vrijednost izraza [dispmath]\sqrt{\left(\sqrt{13}-3\right)^2}-\sqrt{\left(2-\sqrt{13}\right)^2}[/dispmath] jest?
I sad...umisto da to samo računamo...Nama profesorica kaže da je pod prvim korjenom rezultat pozitivan ([inlmath]+[/inlmath]), dok je pod drugim kad ovo oduzmemo rezultat negativan ([inlmath]-[/inlmath]) (ali u ovom malom zadatku čak ni nema zagrada koje označuju apsolutnu vrijednost tj. [inlmath]|x|[/inlmath] !? )
I radi toga di je [inlmath]+[/inlmath] ostavljamo kako je, a di je rezultat negativan, ispred zagrade stavljamo [inlmath]-[/inlmath]
Tj
[dispmath]=\sqrt{13}-3- -\left(2-\sqrt{13}\right)=\sqrt{13}-3+\left(2-\sqrt{13}\right)=\sqrt{13}-3+2-\sqrt{13}=-1[/dispmath]
Jeste, umeju ti kvadratni koreni da zbunjuju, jer sam primetio da se vrlo često pogrešno razumeju neki detalji koji su u vezi s ovom funkcijom.
Kvadratni koren, po definiciji, uvek ima nenegativnu vrednost. Nenegativnu, to znači da može biti pozitivan, ili eventualno nula (ako je pod korenom nula), ali nikad ne može dati negativnu vrednost, bez obzira na vrednost koja je pod korenom. Ovo naglašavam, jer je vrlo česta zabluda da, recimo, [inlmath]\sqrt 9[/inlmath] može biti [inlmath]3[/inlmath] ili [inlmath]-3[/inlmath], budući da oba ta broja dignuta na kvadrat daju [inlmath]9[/inlmath]. E tu je zamka, [inlmath]\sqrt 9[/inlmath] može biti samo [inlmath]3[/inlmath], jer kvadratna funkcija i funkcija kvadratnog korena uopšte
nisu međusobno inverzne funkcije, tj. ako neki broj dignemo na kvadrat pa zatim korenujemo, ne mora da znači da ćemo dobiti prvobitni broj. Primer je taj koji sam malopre naveo: [inlmath]\sqrt{\left(-3\right)^2}\ne -3,\quad \sqrt{\left(-3\right)^2}=3[/inlmath] (Primer može biti i bilo koji drugi negativan realan broj.)
Evo grafika na kome su predstavljene te dve funkcije, kvadratna funkcija [inlmath]x^2[/inlmath] (crvenom bojom) i kvadratni koren [inlmath]\sqrt x[/inlmath] (plavom bojom):
- koren.png (2.99 KiB) Pogledano 1113 puta
Funkcije koje su međusobno inverzne, gledano na grafiku međusobno su simetrične u odnosu na pravac [inlmath]x=y[/inlmath], tj. na dijagonalu koordinatnog sistema (na ovom grafiku obeležen isprekidanom linijom).
Kada bi kvadratni koren bio inverzna funkcija kvadratnoj funkciji, onda bi bio simetričan na nju u odnosu na pravac [inlmath]x=y[/inlmath], pa bi imao i donji krak parabole, ispod x-ose (i, samim tim, mogao bi imati i negativne vrednosti). Međutim, u tom slučaju, to više ne bi bila funkcija, jer bi za jednu vrednost [inlmath]x[/inlmath] mogla dati dve vrednosti [inlmath]y[/inlmath] (i pozitivnu i negativnu), a to je protivno definiciji pojma funkcije, budući da funkcija mora biti jednoznačna.
Zbog toga je usvojeno, definicijom (a čim je po definiciji, znači da se jednostavno usvaja tako – teoreme se dokazuju, a definicije i aksiome ne), da kvadratni koren može biti samo pozitivan ili nula, a samim tim, funkcije [inlmath]x^2[/inlmath] i [inlmath]\sqrt x[/inlmath] nisu međusobno inverzne.
Pošto je kvadratni koren po definiciji uvek nenegativan, isto tako je po definiciji usvojeno i da je
[inlmath]\sqrt{x^2}\:\mathop=\limits^{\mathrm{def}}\:\left|x\right|[/inlmath]
Na taj način, korišćenjem apsolutne vrednosti, izbegnuto je da se za vrednost korena dobije negativan broj, u slučaju da je [inlmath]x[/inlmath] negativno.
U već razmatranom primeru, gde je [inlmath]x^2=9[/inlmath], očigledno je da je jednakost zadovoljena za [inlmath]x=-3[/inlmath] i za [inlmath]x=3[/inlmath]. Ali, kako postpuno doći do tih rešenja? Evo kako:
[inlmath]x^2=9\quad[/inlmath] korenujemo i levu i desnu stranu:
[inlmath]\sqrt{x^2}=\sqrt 9\quad[/inlmath] primetimo da u ovom izrazu ni leva ni desna strana ne mogu biti negativne;
[inlmath]\left|x\right|=3\quad[/inlmath] i, kad se oslobodimo apsolutne vrednosti:
[inlmath]x=\pm 3\quad[/inlmath] i dobili smo rešenja koja smo i očekivali.
I zbog toga je i u ovom zadatku koji si naveo,
[dispmath]\sqrt{\left(\sqrt{13}-3\right)^2}-\sqrt{\left(2-\sqrt{13}\right)^2}[/dispmath]
sve savršeno logično.
Kad primenimo jednakost po definiciji
[dispmath]\sqrt{x^2}\:\mathop=\limits^{\mathrm{def}}\:\left|x\right|[/dispmath]
dati izraz postaje
[dispmath]\left|\sqrt{13}-3\right|-\left|2-\sqrt{13}\right|[/dispmath]
A pošto je funkcija apsolutne vrednosti definisana kao:
[dispmath]\left|x\right|=\begin{cases}
x & \quad x\ge 0\\
-x & \quad x<0\\
\end{cases}[/dispmath]
sasvim je razumljivo da ćemo umesto [inlmath]\left|\sqrt{13}-3\right|[/inlmath] pisati [inlmath]\sqrt{13}-3[/inlmath], budući da je [inlmath]\sqrt{13}-3>0[/inlmath], a da ćemo umesto [inlmath]\left|2-\sqrt{13}\right|[/inlmath] pisati [inlmath]-\left(2-\sqrt{13}\right)[/inlmath], budući da je [inlmath]2-\sqrt{13}<0[/inlmath].
Sad malo jasnije? Ako sam nešto propustio, pitaj slobodno.
Poslato: Utorak, 18. Decembar 2012, 18:59
