MATEMANIJA

Kako se radi ovaj zadatak, nije mi potreban ceo, samo princip.

16. Ukupan broj realnih rešenja jednačine [inlmath]\sqrt{3\cdot2^{\log_{10} 2x}+1} +\sqrt{2\cdot2^{\log_{10} 2x}+9} = \sqrt{13\cdot2^{\log_{10} 2x}-4}[/inlmath] je?

Smena: [inlmath]t=2^{\log_{10}{2x}}[/inlmath]
Dobijaš:
[dispmath]\sqrt{3t+1}+\sqrt{2t+9}=\sqrt{13t-4}[/dispmath]
Sada to rešavaš kao klasičnu iracionalnu jednačinu (kvadriranje obe strane, itd, da izgubiš korenje, vodiš računa o uslovima definisanosti i sl)...
Dobijaš da je [inlmath]t=8[/inlmath]
Povrtakom u [inlmath]t=2^{\log_{10}{2x}}=8[/inlmath]
[inlmath]\log_{10}{2x}=3[/inlmath]
[inlmath]2x=1000[/inlmath]
[inlmath]x=500[/inlmath]
Dakle, jednačina ima samo jedno rešenje.

Auuu, a ja sam od ovako jednostavnog zadatka napravio nauku O.o
Hvala na odgovoru.

Ja dobijem [inlmath]t_1=8[/inlmath] i [inlmath]t_2=\frac{1}{2}[/inlmath], ali ne mogu da shvatim zasto [inlmath]t_2[/inlmath] otpada kao resenje?

Da li si u jednom koraku dobio da je [inlmath]4t-7=\sqrt{6t^2+29t+9}[/inlmath]

E, u tom koraku moraš postaviti dodatni uslov po [inlmath]t[/inlmath], a taj uslov je sledeći:

Pošto se kvadriranjem gubi informacija o predznaku leve i desne strane, tj. ono što je bilo pozitivno posle kvadriranja ostaje pozitivno, ali ono što je negativno, posle kvadriranja takođe postaje pozitivno, pre kvadriranja moramo komentarisati: desna strana jednačine je uvek pozitivna ili nula (po definiciji kvadratnog korena), tako da i leva strana mora biti pozitivna ili nula. I to postavljamo kao obavezan uslov, pre nego što izvršimo kvadriranje. Znači, [inlmath]4t-7\ge 0[/inlmath], tj. [inlmath]t\ge\frac{7}{4}[/inlmath].
Tek kad smo to napisali, kvadriramo obe strane.

Rešenje [inlmath]t=\frac{1}{2}[/inlmath] ne ispunjava taj uslov, jer nije veće ili jednako od [inlmath]\frac{7}{4}[/inlmath], pa njega odbacujemo.

Ja sam na pocetku postavio uslove iz ovoga:
[dispmath]\sqrt{3t+1}+\sqrt{2t+9}=\sqrt{13t-4}[/dispmath]
Stavio sam sva tri izraza koja su pod korenom da su mi [inlmath]\ge 0[/inlmath], verovatno je to pogresno.

Nije pogrešno
To je sve u redu – sva tri izraza, kao potkorene veličine, i treba da budu [inlmath]\ge 0[/inlmath].
Međutim, u toku daljeg postupka, doći ćeš i do tog koraka koji sam ti napisao.. Ili, ajd časkom da odradim to, možda si ti to radio na neki drugi način...[dispmath]\sqrt{3t+1}+\sqrt{2t+9}=\sqrt{13t-4}\quad /\left(\quad\right)^2[/dispmath]Pošto su i leva i desna strana očigledno uvek veće od nule ili jednake nula, nikakav uslov pre kvadriranja ovde ne moramo postavljati, već samo kvadriramo:[dispmath]3t+1+2t+9+2\sqrt{\left(3t+1\right)\left(2t+9\right)}=13t-4[/dispmath][dispmath]2\sqrt{6t^2+2t+27t+9}=8t-14\quad /:2[/dispmath][dispmath]\sqrt{6t^2+29t+9}=4t-7[/dispmath]I sad ovo opet treba da kvadriramo, ali onda moramo postaviti onaj dodatni uslov o kome sam ti pisao u svom prethodnom postu...
Sad malo jasnije?

Super jasnije!
Hvala.