Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica OSTALE MATEMATIČKE OBLASTI ALGEBRA

Nejednacina s apsolutnim vrednostima [18/2012] ETF

[inlmath]a^2-b^2=\left(a+b\right)\left(a-b\right)[/inlmath]

Nejednacina s apsolutnim vrednostima [18/2012] ETF

Postod maxaa » Sreda, 26. Jun 2013, 18:53

Glava me boli od apsolutnih zagrada, jer ne znam kad treba da je definisem a kad da idem na foru, moze li pomoc oko ovog zadatka.
(Prijemni je za nekoliko dana, izvinjavam se ako malo budem dosadjivao sa postavljanjem zadataka)


18. Skup svih realnih rešenja nejednačine [inlmath]\frac{|1-x|}{1-|x|}<\frac{1+|x|}{|1+x|}[/inlmath] je oblika (za neke realne brojeve [inlmath]a[/inlmath] i [inlmath]b[/inlmath] takve da je [inlmath]0<a<b< +\infty[/inlmath]):
(A) [inlmath](-\infty,-a)[/inlmath]
(B) [inlmath](a,+\infty)[/inlmath]
(C) [inlmath](-\infty,-a)\cup(a,+\infty)[/inlmath]
(D) [inlmath](-b,-a)\cup(a,b)[/inlmath]
(E) [inlmath](-\infty,-a)\cup(-a,a)\cup(a,+\infty)[/inlmath]
Obrazovanje, to je ono, što ostane, nakon što osoba zaboravi sve, što je naučila u školi.
Albert Einstein
Korisnikov avatar
maxaa  OFFLINE
 
Postovi: 176
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 98 puta
Pohvaljen: 20 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+
  • +1

Re: Nejednacina s apsolutnim vrednostima [18/2012] ETF

Postod Daniel » Četvrtak, 27. Jun 2013, 02:02

Prvo, naravno, postaviš uslove da nejednačina bude definisana, tj. da su imenioci različiti od nule:
[inlmath]\left.\begin{array}{ll}
1-\left|x\right|\ne 0\quad\Rightarrow\quad\left|x\right|\ne 1\quad\Rightarrow\quad x\ne -1\quad\land\quad x\ne 1 \\
\left|1+x\right|\ne 0\quad\Rightarrow\quad1+x\ne 0\quad\Rightarrow\quad x\ne -1
\end{array}\right\}\quad\Rightarrow\quad x\in\mathrm{R}\setminus\left\{-1,1\right\}[/inlmath]

Pošto nam u zadatku figurišu tri različite apsolutne vrednosti, [inlmath]\left|1+x\right|[/inlmath], [inlmath]\left|x\right|[/inlmath] i [inlmath]\left|1-x\right|[/inlmath], one ceo interval realnih brojeva dele na četiri podintervala:
[dispmath]\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline
& \left|1+x\right| & \left|x\right| & \left|1-x\right|\\ \hline
x<-1 & -x-1 & -x & 1-x\\ \hline
-1\le x<0 & 1+x & -x & 1-x\\ \hline
0\le x<1 & 1+x & x & 1-x\\ \hline
x\ge 1 & 1+x & x & x-1\\ \hline
\end{array}[/dispmath]
I sada nema druge, nego da za svaki od ovih podintervala zasebno računamo nejednačinu i nađemo skup rešenja koja pripadaju podintervalu za taj slučaj. Znači,
[dispmath]x\le -1\quad\Rightarrow\quad\frac{1-x}{1-\left(-x\right)}<\frac{1+\left(-x\right)}{-x-1}[/dispmath][inlmath]\Rightarrow\quad[/inlmath]nađemo rešenja i odredimo njihov presek sa [inlmath]x\le -1[/inlmath]

[dispmath]-1\le x<0\quad\Rightarrow\quad\frac{1-x}{1-\left(-x\right)}<\frac{1+\left(-x\right)}{1+x}[/dispmath][inlmath]\Rightarrow\quad[/inlmath]nađemo rešenja i odredimo njihov presek sa [inlmath]-1\le x<0[/inlmath]

[dispmath]0\le x<1\quad\Rightarrow\quad\frac{1-x}{1-x}<\frac{1+x}{1+x}[/dispmath][inlmath]\Rightarrow\quad[/inlmath]nađemo rešenja i odredimo njihov presek sa [inlmath]0\le x<1[/inlmath]

[dispmath]x\ge 1\quad\Rightarrow\quad\frac{x-1}{1-x}<\frac{1+x}{1+x}[/dispmath][inlmath]\Rightarrow\quad[/inlmath]nađemo rešenja i odredimo njihov presek sa [inlmath]x\ge 1[/inlmath]

Naravno, vodi računa i o tome da kad množimo obe strane nejednačine imeniocima razlomaka u cilju oslobađanja od razlomaka, tada znak nejednakosti menja smer ako množimo negativnom vrednošću...
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 9300
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5151 puta
Pohvaljen: 4951 puta

Re: Nejednacina s apsolutnim vrednostima [18/2012] ETF

Postod maxaa » Četvrtak, 27. Jun 2013, 02:37

Iskreno nije mi najjasnije ovo deljenje na 4 podintervala, tj tabela mi u sustini nije najjasnija. Ali probacu sutra, da se pozabavim zadatkom malo vise, sad mi je koncentracija popustila i oci su ko lubenice od nespavanja, pa mi mozda i zato nije jasno. Hvala u svakom slucaju.
Obrazovanje, to je ono, što ostane, nakon što osoba zaboravi sve, što je naučila u školi.
Albert Einstein
Korisnikov avatar
maxaa  OFFLINE
 
Postovi: 176
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 98 puta
Pohvaljen: 20 puta

Re: Nejednacina s apsolutnim vrednostima [18/2012] ETF

Postod Daniel » Četvrtak, 27. Jun 2013, 11:38

Tabela prikazuje čemu će, u svakom od podintervala, biti jednaka svaka od apsolutnih vrednosti. Ako je u nekom podintervalu veličina pod apsolutnom vrednošlu pozitivna ili nula, onda se jednostavno oslobađamo znaka apsolutne vrednosti. Ako je, pak, u nekom podintervalu veličina pod apsolutnom vrednošću negativna, tada, pri oslobađanju od apsolutne vrednosti, tu veličinu množimo sa [inlmath]\left(-1\right)[/inlmath].

Moramo nejednačinu ispitivati odvojeno na svakom od ta četiri podintervala, budući da, zbog apsolutnih vrednosti, nejednačina u svakom od tih podintervala ima drugačiji oblik.
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 9300
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5151 puta
Pohvaljen: 4951 puta

Re: Nejednacina s apsolutnim vrednostima [18/2012] ETF

Postod _Mita » Četvrtak, 27. Jun 2013, 17:21

Radio sam sad ovaj zadatak i dobio da je jednacina definisana za svako [inlmath]x<-1[/inlmath] i [inlmath]x>1[/inlmath], a u unutrasnja dva intervala nema resenja, ali mnogo se lako gresi i sa 3 intervala, kamoli sa 4, bar sto se mene tice :lol:
Korisnikov avatar
_Mita  OFFLINE
 
Postovi: 116
Lokacija: Kragujevac
Zahvalio se: 46 puta
Pohvaljen: 37 puta

  • +1

Re: Nejednacina s apsolutnim vrednostima [18/2012] ETF

Postod Daniel » Četvrtak, 27. Jun 2013, 17:33

Zapravo... nejednačina je definisana za svako [inlmath]x\in\mathrm{R}\setminus\left\{-1,1\right\}[/inlmath], a skup rešenja nejednačine je to što si napisao, tj. [inlmath]x<-1[/inlmath] i [inlmath]x>1[/inlmath]. :)
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 9300
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5151 puta
Pohvaljen: 4951 puta

Re: Nejednacina s apsolutnim vrednostima [18/2012] ETF

Postod _Mita » Četvrtak, 27. Jun 2013, 17:42

To :P
Korisnikov avatar
_Mita  OFFLINE
 
Postovi: 116
Lokacija: Kragujevac
Zahvalio se: 46 puta
Pohvaljen: 37 puta


Povratak na ALGEBRA

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 54 gostiju


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Petak, 29. Mart 2024, 09:32 • Sva vremena su u UTC + 1 sat
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs