MATEMANIJA

Glava me boli od apsolutnih zagrada, jer ne znam kad treba da je definisem a kad da idem na foru, moze li pomoc oko ovog zadatka.
(Prijemni je za nekoliko dana, izvinjavam se ako malo budem dosadjivao sa postavljanjem zadataka)

---

18. Skup svih realnih rešenja nejednačine [inlmath]\frac{|1-x|}{1-|x|}<\frac{1+|x|}{|1+x|}[/inlmath] je oblika (za neke realne brojeve [inlmath]a[/inlmath] i [inlmath]b[/inlmath] takve da je [inlmath]0<a<b< +\infty[/inlmath]):
(A) [inlmath](-\infty,-a)[/inlmath]
(B) [inlmath](a,+\infty)[/inlmath]
(C) [inlmath](-\infty,-a)\cup(a,+\infty)[/inlmath]
(D) [inlmath](-b,-a)\cup(a,b)[/inlmath]
(E) [inlmath](-\infty,-a)\cup(-a,a)\cup(a,+\infty)[/inlmath]

Prvo, naravno, postaviš uslove da nejednačina bude definisana, tj. da su imenioci različiti od nule:
[inlmath]\left.\begin{array}{ll}
1-\left|x\right|\ne 0\quad\Rightarrow\quad\left|x\right|\ne 1\quad\Rightarrow\quad x\ne -1\quad\land\quad x\ne 1 \\
\left|1+x\right|\ne 0\quad\Rightarrow\quad1+x\ne 0\quad\Rightarrow\quad x\ne -1
\end{array}\right\}\quad\Rightarrow\quad x\in\mathrm{R}\setminus\left\{-1,1\right\}[/inlmath]

Pošto nam u zadatku figurišu tri različite apsolutne vrednosti, [inlmath]\left|1+x\right|[/inlmath], [inlmath]\left|x\right|[/inlmath] i [inlmath]\left|1-x\right|[/inlmath], one ceo interval realnih brojeva dele na četiri podintervala:
[dispmath]\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline
& \left|1+x\right| & \left|x\right| & \left|1-x\right|\\ \hline
x<-1 & -x-1 & -x & 1-x\\ \hline
-1\le x<0 & 1+x & -x & 1-x\\ \hline
0\le x<1 & 1+x & x & 1-x\\ \hline
x\ge 1 & 1+x & x & x-1\\ \hline
\end{array}[/dispmath]
I sada nema druge, nego da za svaki od ovih podintervala zasebno računamo nejednačinu i nađemo skup rešenja koja pripadaju podintervalu za taj slučaj. Znači,
[dispmath]x\le -1\quad\Rightarrow\quad\frac{1-x}{1-\left(-x\right)}<\frac{1+\left(-x\right)}{-x-1}[/dispmath][inlmath]\Rightarrow\quad[/inlmath]nađemo rešenja i odredimo njihov presek sa [inlmath]x\le -1[/inlmath]

[dispmath]-1\le x<0\quad\Rightarrow\quad\frac{1-x}{1-\left(-x\right)}<\frac{1+\left(-x\right)}{1+x}[/dispmath][inlmath]\Rightarrow\quad[/inlmath]nađemo rešenja i odredimo njihov presek sa [inlmath]-1\le x<0[/inlmath]

[dispmath]0\le x<1\quad\Rightarrow\quad\frac{1-x}{1-x}<\frac{1+x}{1+x}[/dispmath][inlmath]\Rightarrow\quad[/inlmath]nađemo rešenja i odredimo njihov presek sa [inlmath]0\le x<1[/inlmath]

[dispmath]x\ge 1\quad\Rightarrow\quad\frac{x-1}{1-x}<\frac{1+x}{1+x}[/dispmath][inlmath]\Rightarrow\quad[/inlmath]nađemo rešenja i odredimo njihov presek sa [inlmath]x\ge 1[/inlmath]

Naravno, vodi računa i o tome da kad množimo obe strane nejednačine imeniocima razlomaka u cilju oslobađanja od razlomaka, tada znak nejednakosti menja smer ako množimo negativnom vrednošću...

Iskreno nije mi najjasnije ovo deljenje na 4 podintervala, tj tabela mi u sustini nije najjasnija. Ali probacu sutra, da se pozabavim zadatkom malo vise, sad mi je koncentracija popustila i oci su ko lubenice od nespavanja, pa mi mozda i zato nije jasno. Hvala u svakom slucaju.

Tabela prikazuje čemu će, u svakom od podintervala, biti jednaka svaka od apsolutnih vrednosti. Ako je u nekom podintervalu veličina pod apsolutnom vrednošlu pozitivna ili nula, onda se jednostavno oslobađamo znaka apsolutne vrednosti. Ako je, pak, u nekom podintervalu veličina pod apsolutnom vrednošću negativna, tada, pri oslobađanju od apsolutne vrednosti, tu veličinu množimo sa [inlmath]\left(-1\right)[/inlmath].

Moramo nejednačinu ispitivati odvojeno na svakom od ta četiri podintervala, budući da, zbog apsolutnih vrednosti, nejednačina u svakom od tih podintervala ima drugačiji oblik.

Radio sam sad ovaj zadatak i dobio da je jednacina definisana za svako [inlmath]x<-1[/inlmath] i [inlmath]x>1[/inlmath], a u unutrasnja dva intervala nema resenja, ali mnogo se lako gresi i sa 3 intervala, kamoli sa 4, bar sto se mene tice

Zapravo... nejednačina je definisana za svako [inlmath]x\in\mathrm{R}\setminus\left\{-1,1\right\}[/inlmath], a skup rešenja nejednačine je to što si napisao, tj. [inlmath]x<-1[/inlmath] i [inlmath]x>1[/inlmath].

To