MATEMANIJA

Pokusao sam da uradim Zadatak iz zbirke Nenada Cakica,medjutim jedan korak mi nije jasan

Zadatak glasi [inlmath]\sqrt[4]{[x-3]^{x+1}}=\sqrt[3]{[x-3]^{x-2}}[/inlmath]

Ovako sam ga ja radio :
[dispmath](x-3)^\frac{x+1}{4}=(x-3)^\frac{x-2}{4}[/dispmath] Odavde je.....
[dispmath]\frac{x+1}{4}=\frac{x-2}{3}[/dispmath] Zatim sredjivanjem....
dobijamo [inlmath]x=11[/inlmath]
Ovo je jedno od resenja [inlmath]x[/inlmath] ,u zadatku se trazi Zbir resenja,otvorio sam knjigu i ovo je bilo tacno ali postoji jos jedan korak pri cemu je
[inlmath][x-3]=1[/inlmath] E ovaj deo mi nije jasan zasto je [inlmath][x-3]=1[/inlmath]
Zatim kad se to izracuna dobija se [inlmath]x=4,\;x=2[/inlmath]
Kada saberemo sva resenja dobijamo [inlmath]17[/inlmath]

Šta dobijaš kada broj [inlmath]1[/inlmath] stepenuješ proizvoljnim brojem?

Da li umesto [inlmath][x-3][/inlmath] treba zapravo da stoji [inlmath]|x-3|[/inlmath] tj. apsolutna vrednost?

U svakom slučaju nedostaje još i rešenje [inlmath]x=3[/inlmath].

Pogledati ovu temu.

[dispmath]\sqrt[4]{|x-3|^{x+1}}=\sqrt[3]{|x-3|^{x-2}}\\
\frac{x+1}{4}=\frac{x-2}{3},\quad|x-3|=1,\quad|x-3|=0\\
x=11,\quad x-3=\pm1,\quad x-3=0\\
x=11,\quad(x-3=1\;\lor\;x-3=-1),\quad x=3\\
x=11,\quad x=4,\quad x=2,\quad x=3[/dispmath] Ovo bi trebalo da su sva rešenja, a zamenom se pokazuje da je zadovoljavaju. Da ti olakšam, kada se nepoznata nađe u eksponentu i u bazi stepena, prvo rešenje se dobija iz jednakosti eksponenata, drugo iz toga da je baza jednaka [inlmath]1[/inlmath], a treće može postojati ako je baza [inlmath]0[/inlmath] (neka ti ne bude teško da proveriš šta se onda desi sa eksponentom da on slučajno ne bi bio negativan ili nula kada izraz nije definisan).

Moguće je da su zaboravili u zbirci da provere za bazu jednaku [inlmath]0[/inlmath], pa ti je zato zbir rešenja u zbirci [inlmath]17[/inlmath].

Hvala puno,sada je sve mnogo jasnije ^^

Eksponencijalna funkcija [inlmath]y=a^x[/inlmath] definisana ukoliko je [inlmath]a>0[/inlmath] pa [inlmath]x=3[/inlmath] ne moze biti resenje

Vakson je napisao:Eksponencijalna funkcija [inlmath]y=a^x[/inlmath] definisana ukoliko je a>0 pa x=3 ne moze biti resenje

Takođe i za [inlmath]a[/inlmath] različito od [inlmath]1[/inlmath], a onda nemamo još dva rešenja?

Vakson je napisao:Eksponencijalna funkcija [inlmath]y=a^x[/inlmath] definisana ukoliko je [inlmath]a>0[/inlmath] pa [inlmath]x=3[/inlmath] ne moze biti resenje

Mogao si da uvrstiš [inlmath]x=3[/inlmath] u jednačinu i da proveriš:
[dispmath]\sqrt[4]{|x-3|^{x+1}}=\sqrt[3]{|x-3|^{x-2}}\\
\sqrt[4]{|3-3|^{3+1}}=\sqrt[3]{|3-3|^{3-2}}\\
\sqrt[4]{0^4}=\sqrt[3]{0^1}\\
\sqrt[4]0=\sqrt[3]0\\
0=0[/dispmath] Dakle, [inlmath]x=3[/inlmath] jeste jedno od rešenja ove jednačine.
Eksponencijalna funkcija [inlmath]y=a^x[/inlmath] jeste definisana za [inlmath]a>0[/inlmath], ali to ne znači da ne može biti definisana i za [inlmath]a\le0[/inlmath] za određene vrednosti promenljive [inlmath]x[/inlmath].
Ako je [inlmath]a=0[/inlmath], funkcija [inlmath]a^x[/inlmath] je definisana za svako pozitivno [inlmath]x[/inlmath] i ima vrednost [inlmath]0[/inlmath] (za [inlmath]x=0[/inlmath], tj. za [inlmath]0^0[/inlmath] se lome koplja među matematičarima da li je vrednost [inlmath]0[/inlmath] ili je vrednost [inlmath]1[/inlmath] ili je vrednost nedefinisana, a ima argumenata za sve tri opcije).

Da je jednačina kojim slučajem glasila [inlmath]\sqrt[4]{|x-3|^{x{\color{red}-4}}}=\sqrt[3]{|x-3|^{x-2}}[/inlmath], e tada [inlmath]x=3[/inlmath] ne bi moglo biti rešenje, jer leva strana tada ne bi bila definisana budući da nula dignuta na negativan stepen nije definisana.