MATEMANIJA

Pokusao sam sa promenom osnove, sam deljenjem, ali ne uspevam.

19. Sva realna rešenja jednačine [inlmath]\log_{2011}\left(2010x\right)=\log_{2010}\left(2011x\right)[/inlmath] pripadaju intervalu :
(A) [inlmath]\left(0,\frac{1}{2011}\right][/inlmath] (B) [inlmath]\left(\frac{1}{2011},\frac{1}{2010}\right][/inlmath] (C) [inlmath]\left(\frac{1}{2010},1\right][/inlmath] (D) [inlmath]\left(1,\frac{2011}{2010}\right][/inlmath] (E) [inlmath]\left(\frac{2011}{2010},+\infty\right)[/inlmath]

[dispmath]\log_{2011}\left(2010x\right)=\log_{2010}\left(2011x\right)[/dispmath][dispmath]\log_{2011}\left(2010x\right)+1=\log_{2010}\left(2011x\right)+1[/dispmath][dispmath]\log_{2011}\left(2010x\right)+\log_{2011}2011=\log_{2010}\left(2011x\right)+\log_{2010}2010[/dispmath][dispmath]\log_{2011}\left(2010\cdot 2011x\right)=\log_{2010}\left(2010\cdot 2011x\right)[/dispmath]Logaritamska funkcija će za jednake vrednosti argumenta a za različite vrednosti osnove imati jednake vrednosti samo ako je vrednost argumenta jednaka [inlmath]1[/inlmath] i tada će vrednost logaritamske funkcije biti [inlmath]0[/inlmath], bez obzira na vrednost osnove (možeš pogledati animaciju logaritamske funkcije).
Prema tome,[dispmath]2010\cdot 2011x=1\quad\Rightarrow\quad x=\frac{1}{2010\cdot 2011}[/dispmath]

OkE, janso mi je ali kako bih iz [inlmath]2010\cdot 2011x=1\;\Rightarrow\;x=\frac{1}{2010\cdot 2011}[/inlmath] zakljucio o kom se od gorepomenutih intervala radi.
Slabija strana su mi odredjivanje tih intervala, kao sto sam skoro u nekom od prethodnih postova rekao, vezano za uniju preseke i slicno.

[inlmath]\frac{1}{2010\cdot 2011}[/inlmath] je očigledno manje od jedinice, jer kad jedinicu delimo nekim brojem većim od jedinice, dobijamo broj manji od jedinice.

[inlmath]\frac{1}{2010\cdot 2011}[/inlmath] je manje i od [inlmath]\frac{1}{2011}[/inlmath], jer ako uporedimo brojioce i imenioce ta dva razlomka, vidimo da su im brojioci jednaki, a imenilac prvog je veći od imenioca drugog. Pošto znamo da je vrednost razlomka veća što mu je imenilac manji i obratno, zaključujemo da je vrednost prvog razlomka (onog s većim imeniocem) manja od vrednosti drugog razlomka.

Potpuno istim rezonom zaključujemo i da je [inlmath]\frac{1}{2010\cdot 2011}[/inlmath] manje od [inlmath]\frac{1}{2010}[/inlmath].

Sve ovo je sasvim dovoljno da možemo da odbacimo sva ponuđena rešenja, osim rešenja [inlmath]\left(A\right)[/inlmath].

Aha, znaci ide se sistemom eliminacije resenja, bunilo me to kad kazu kom intervalu pripada, a ja dobijem klasicno resenje a ne interval i onda moram da idem tim sistemom eliminacije.
Hvala.

Pa, da. Sam tekst zadatka nije glasio Rešenje ove jednačine je interval (pa onda ponuđeni intervali), nego je glasio Sva realna rešenja jednačine pripadaju intervalu (pa ponuđeni intervali). Jeste malo zbunjujuće, ali tako formulisan tekst dopušta da se kao rezultat dobije konačan broj rešenja i onda se samo pita u kom intervalu se ta rešenja, ili, to rešenje, kao u ovom slučaju, nalaze/nalazi.

Posto meni ne bi palo na pamet da dodam jedinice, kao sto je to odradio Daniel, ja sam to odradio na malo tezi nacin (ne tezi, koliko duzi, rekao bih), pa resih da ga iskucam:
[dispmath]\log_{2011}\left(2010x\right)=\log_{2010}\left(2011x\right)\\\
\\\
\frac{\log\left(2010x\right)}{\log2011}=\frac{\log\left(2011x\right)}{\log2010}\\\
\\\
\log2010\cdot\log\left(2010x\right)=\log2011\cdot\log\left(2011x\right)\\\
\\\
\log2010\left(\log2010+\log x\right)=\log2011\left(\log2011+\log x\right)\\\
\\\
\log^22010+\log2010\cdot\log x-\log^22011-\log2011\cdot\log x=0\\\
\\\
\log x\left(\log2010-\log2011\right)+\left(\log^22010-\log^2 2011\right)=0\\\
\\\
\log x\left(\log2010-\log2011\right)+\left(\log2010-\log2011\right)\left(\log2010+\log2011\right)=0\\\
\\\
\left(\log2010-\log2011\right)\left(\log x+\log2010+\log2011\right)=0\\\
\\\
\left(\log2010-\log2011\right)\bigl(\log\left(x\cdot2010\cdot2011\right)\bigr)=0[/dispmath]
Prvi cinilac nikako ne moze biti nula, pa se jednacina svodi na jednacinu:
[dispmath]\log\left(x\cdot2010\cdot2011\right)=0
\\\
\\\
x\cdot2010\cdot2011=10^0\\\
\\\
x\cdot2010\cdot2011=1\\\
\\\
\enclose{box}{x=\frac{1}{2010\cdot2011}}[/dispmath]

A jel moze nekako ovako:
[dispmath]\log_{2011}\left(2010x\right)=\log_{2010}\left(2011x\right)[/dispmath][dispmath]\frac{1}{\log_{2010}\left(2011\right)}+\frac{\log_{2010}\left(x\right)}{\log_{2010}\left(2011\right)}=\log_{2010}\left(2011\right)+\log_{2010}\left(x\right)[/dispmath][dispmath]\log_{2010}\left(2011\right)=t[/dispmath][dispmath]\log_{2010}\left(x\right)=u[/dispmath][dispmath]\frac{1}{t}+\frac{u}{t}=t+u[/dispmath]
ako sve pomnozimo sa [inlmath]t[/inlmath]
[dispmath]1+u=t^2+tu[/dispmath]
Jel moze nekako nakon ovoga da se uradi?

Moze, jer odatle dobijamo [inlmath]\displaystyle u=\frac{(1-t)(1+t)}{t-1}=-(1+t)[/inlmath] (mogli smo da kratimo jer je [inlmath]t\neq1[/inlmath]). Tada dobijamo [inlmath]\displaystyle u=-(1+\log_{2010}2011)=\log_{2010}\frac{1}{2010\cdot2011}[/inlmath], a kako je [inlmath]\displaystyle u=\log_{2010}x[/inlmath], to je onda [inlmath]\displaystyle x=\frac{1}{2010\cdot2011}[/inlmath].