MATEMANIJA

Treba mi pomoc oko ovog zadatka: Zbir resenja jednacine
[dispmath]x^{3-\log\left(\frac{x}{3}\right)}=900[/dispmath] resenje je [inlmath]130[/inlmath], a ja dobijam jedno [inlmath]x=30[/inlmath]. Ovako sam ja radio:
[dispmath]x^{3-\log\left(\frac{x}{3}\right)}=900[/dispmath][dispmath]\log x^{3-\log\left(\frac{x}{3}\right)}=\log(100\cdot9)[/dispmath][dispmath]\bigl(3-(\log x-\log3)\bigr)\cdot\log x=2+\log3^2[/dispmath] ovde sam uveo smenu radi lakseg snalazenja [inlmath]\log x=t[/inlmath]
[dispmath](3-t+\log3)t=2+2\log3[/dispmath][dispmath]3t-t^2+t\cdot\log3=2+2\log3[/dispmath][dispmath]t^2-3t+2=t\cdot\log3-2\log3[/dispmath][dispmath]t^2-3t+2=\log3\cdot(t-2)[/dispmath][dispmath]\frac{t^2-3t+2}{t-2}=\log3[/dispmath][dispmath]\frac{t^2-4t+t+4-2}{t-2}=\log3[/dispmath][dispmath]\frac{(t-2)^2+t-2}{t-2}=\log3[/dispmath][dispmath]\frac{(t-2)(t-2+1)}{t-2}=\log3[/dispmath][dispmath]t-1=\log3[/dispmath][dispmath]\log x-\log10=\log3[/dispmath][dispmath]\log\left(\frac{x}{10}\right)=\log 3[/dispmath][dispmath]\frac{x}{10}=3[/dispmath][dispmath]x=30[/dispmath]

Usput si izgubio jedno rešenje [inlmath]t=2[/inlmath].

Gde tacno?

Aleksa001 je napisao:[dispmath]t^2-3t+2=t\cdot\log3-2\log3[/dispmath][dispmath]t^2-3t+2=\log3\cdot{\color{red}(t-2)}[/dispmath][dispmath]\frac{t^2-3t+2}{\color{red}t-2}=\log3[/dispmath]

U ovom delu postupka si obe strane jednakosti podelio sa izrazom [inlmath]t-2[/inlmath] bez da postaviš uslov da se ne sme deliti nulom, tj:
[dispmath]t-2\ne0\iff t\ne2[/dispmath] Samo pod ovim uslovom dobija se rešenje koje si dobio, a to je [inlmath]x_1=30[/inlmath]. Ako si već na ovaj način želeo da rešiš jednačinu, onda ostaje da proveriš šta bi se desilo da nisi podelio jednačinu sa [inlmath]t-2[/inlmath], tj. šta bi se desilo da ne važi [inlmath]t\ne2[/inlmath], odnosno da je baš bilo [inlmath]t=2[/inlmath] (tada naravno ne bi smeo da deliš sa [inlmath]t-2[/inlmath]). Ako bi bilo [inlmath]t=2[/inlmath], onda bismo imali:
[dispmath]\log x=2\iff x_2=100[/dispmath] Ako se vratimo na početak i u jednačinu uvrstimo [inlmath]x_2=100[/inlmath] direktnom proverom bismo se uverili da je i ovo rešenje jednačine:
[dispmath]100^{3-\log\left(\frac{100}{3}\right)}=900[/dispmath][dispmath]100^{3-\log100+\log3}=900[/dispmath][dispmath]100^{3-2+\log3}=900[/dispmath][dispmath]100^{1+\log3}=900[/dispmath][dispmath]100\cdot100^{\log3}=900[/dispmath][dispmath]100\cdot9=900[/dispmath] te je zbir rešenja (koji se tražio u zadatku):
[dispmath]x_1+x_2=130[/dispmath]

---

Međutim, da ti se ne bi dešavalo da treba da razmišljaš o posledicama transformacija (koje ti se naizgled čine ekvivalentnim, a u stvari nisu) ili pažljivije deli ili si mogao rešiti kvadratnu jednačinu po promenljivoj [inlmath]t[/inlmath] umesto da deliš (jer ako pogledaš imao si jednačinu sa promenljivom [inlmath]t[/inlmath], drugog stepena). U nastavku sam ti priložio postupak rešavanja.
[dispmath]t^2+(-3-\log3)\cdot t+2+2\log3=0[/dispmath][dispmath]t=\frac{-(-3-\log3)\pm\sqrt{(-3-\log3)^2-4\cdot1\cdot(2+2\log3)}}{2}[/dispmath][dispmath]\vdots[/dispmath][dispmath]t=\frac{3+\log3\pm\sqrt{1-2\log3+\log^23}}{2}[/dispmath][dispmath]t=\frac{3+\log3\pm\sqrt{(1-\log3)^2}}{2}[/dispmath][dispmath]t_1=\frac{3+\log3+1-\log3}{2}=2\;\lor\;t_2=\frac{3+\log3-(1-\log3)}{2}=1+\log3[/dispmath][dispmath]\log x=2\;\lor\;\log x=1+\log3=\log30[/dispmath][dispmath]x_1=100\;\lor\;x_2=30[/dispmath]

Hvala puno na objasnjenju!!!