MATEMANIJA

Prijemni ispit FON – 29. jun 2010.
18. zadatak

Sva realna resenja jednacine [inlmath]\log_3\left(\sqrt{2x+1}+3\right)=5\log_3\sqrt[5]{10-x}[/inlmath] pripadaju skupu:
[inlmath]A)\;\{8,10,12\}\quad[/inlmath] [inlmath]B)\;\{5,7,9\}\quad[/inlmath] [inlmath]C)\;\{6,9,12\}\quad[/inlmath] [inlmath]D)\;\{7,9,11\}\quad[/inlmath] [inlmath]\enclose{circle}{E)}\;\{4,6,8\}[/inlmath]

U ovom zadatku ne znam kako da postavim definisanost za [inlmath]\left(\sqrt{2x+1}+3>0\right)[/inlmath]
[inlmath]\sqrt{2x+1}<-3[/inlmath] nije ispravno.

Osim toga imamo:
[inlmath]2x+1>0,\;x>-\frac{1}{2}\\
10-x>0,\;x<10[/inlmath]

Da li je ovo drugo dobro?

Imaš tri uslova koja treba da postaviš:
[inlmath]1)\;\sqrt{2x+1}+3>0[/inlmath]
[inlmath]2)\;2x+1\ge0[/inlmath] (obrati pažnju na veće ili jednako)
[inlmath]3)\;\sqrt[5]{10-x}>0[/inlmath]

[inlmath]1)[/inlmath]
[dispmath]\sqrt{2x+1}+3>0\\
\sqrt{2x+1}>-3[/dispmath] Ovo je uvek ispunjeno, pošto je kvadratni koren po definiciji uvek pozitivan ili nula.

[inlmath]2)[/inlmath]
[dispmath]2x+1\ge0\\
x\ge-\frac{1}{2}[/dispmath] [inlmath]3)[/inlmath]
[dispmath]\sqrt[5]{10-x}>0\\
10-x>0\\
x<10[/dispmath] Presek ovih uslova je
[dispmath]-\frac{1}{2}\le x<10[/dispmath]

Hvala!

Jasno mi je sada!

Daniel je napisao:[inlmath]1)\;\sqrt{2x+1}+3>0[/inlmath]

Zasto je bilo potrebno postavljati ovaj uslov (nevezano za to sto je uvek ispunjen) kad sa druge strane jednakosti imamo logaritam, koji moze biti negativan?

Zato što [inlmath]\left(\sqrt{2x+1}+3\right)[/inlmath] predstavlja argument ovog logaritma s leve strane, a argument logaritma mora biti strogo veći od nule.

Nisam uopste primetio logaritam ispred, jezik brzi od pameti

Presek ovih uslova je
[dispmath]-\frac{1}{2}\le x<10[/dispmath]
Zašto onda odgovor pod [inlmath]B)\;\{5,7,9\}[/inlmath] nije takođe rešenje iako ispunjava ovaj uslov?

Zato što postavljanjem uslova definisanosti nismo završili zadatak. Potrebno je još i rešiti logaritamsku jednačinu.