MATEMANIJA

Trazi se broj celobrojnih resenja nejednacine... Ja sam zakljucio da posto je ovo pod korenom uvek vece ili jednako nula, onda i ovo pre mora biti vece i jednako nula, i sad nadjem dva domena, i resenje dobijem, koje nema medju ponudjenim.... [inlmath][2,3][/inlmath]
[dispmath]\left(x^2+x-6\right)\sqrt{6+5x-x^2}\ge 0[/dispmath]

Zapravo, nije ovo pod korenom uvek [inlmath]\ge 0[/inlmath], već je sama vrednost korena uvek [inlmath]\ge 0[/inlmath]. Međutim, kada je vrednost korena jednaka nuli, tada ovo pre korena ne mora biti [inlmath]\ge 0[/inlmath], već može imati bilo koju vrednost. Ta, bilo koja vrednost, pomnožena nulom daće nulu i nejednačina će time biti zadovoljena. Zato i o tom slučaju treba voditi računa.

Evo kako bih ja to radio:[dispmath]\left(x^2+x-6\right)\sqrt{6+5x-x^2}\ge 0[/dispmath]Prvo se odredi domen, tj. skup vrednosti [inlmath]x[/inlmath] za koje je ova nejednačina definisana. Jedini uslov koji ovde imamo je taj, da je potkorena veličina veća ili jednaka od nule:[dispmath]6+5x-x^2\ge 0[/dispmath][dispmath]-x^2+5x+6\ge 0[/dispmath][dispmath]x_{1,2}=\frac{-5\pm\sqrt{25+27}}{-2}=\frac{-5\pm 7}{-2}[/dispmath][dispmath]x_1=-1,\quad x_2=6[/dispmath][dispmath]-1\le x\le 6[/dispmath]Izvan ovog intervala nejednačina, dakle, nije definisana. To znači, sva rešenja koja budemo dobili prihvatamo samo ako zadovoljavaju ovaj uslov, u suprotnom ih odbacujemo.

Vraćamo se na nejednačinu:[dispmath]\left(x^2+x-6\right)\sqrt{6+5x-x^2}\ge 0[/dispmath]Kada je proizvod dva broja veći ili jednak od nule, to znači da ili moraju oba ta broja da budu veća ili jednaka od nule, ili moraju oba da budu manja ili jednaka od nule:[dispmath]\left(x^2+x-6\ge 0\quad\land\quad\sqrt{6+5x-x^2}\ge 0\right)\quad\lor\quad\left(x^2+x-6\le 0\quad\land\quad\sqrt{6+5x-x^2}\le 0\right)[/dispmath]Nejednakost [inlmath]\sqrt{6+5x-x^2}\ge 0[/inlmath] je uvek zadovoljena, pa umesto nje možemo pisati [inlmath]\top[/inlmath] (znak da je iskaz uvek tačan).

Nejednakost [inlmath]\sqrt{6+5x-x^2}\le 0[/inlmath] zadovoljena je samo kad je [inlmath]\sqrt{6+5x-x^2}=0[/inlmath], budući da koren ne može biti manji od nule.[dispmath]\left(x^2+x-6\ge 0\quad\land\quad\top\right)\quad\lor\quad\left(x^2+x-6\le 0\quad\land\quad\sqrt{6+5x-x^2}=0\right)[/dispmath][dispmath]x^2+x-6\ge 0\quad\lor\quad\left(x^2+x-6\le 0\quad\land\quad -x^2+5x+6=0\right)[/dispmath][inlmath]x^2+x-6\ge 0[/inlmath]
[inlmath]x_{1,2}=\frac{-1\pm\sqrt{1+24}}{2}=\frac{-1\pm 5}{2}[/inlmath]
[inlmath]x_1=-3\quad x_2=2[/inlmath]
[inlmath]x\le -3\quad\lor\quad x\ge 2[/inlmath]

[inlmath]x^2+x-6\le 0[/inlmath]
[inlmath]-3\le x\le 2[/inlmath]

[inlmath]-x^2+5x+6=0[/inlmath]
[inlmath]x_1=-1,\quad x_2=6[/inlmath][dispmath]\left(x\le -3\quad\lor\quad x\ge 2\right)\quad\lor\quad\underbrace{\left[-3\le x\le 2\quad\land\quad\left(x=-1\quad\lor\quad x=6\right)\right]}_{x=-1}[/dispmath][dispmath]x\le -3\quad\lor\quad x\ge 2\quad\lor\quad x=-1[/dispmath]I sad nađemo presek toga i onog uslova definisanosti koji smo postavili na početku, [inlmath]-1\le x\le 6[/inlmath]:[dispmath]\left(x\le -3\quad\lor\quad x\ge 2\quad\lor\quad x=-1\right)\quad\land\quad -1\le x\le 6[/dispmath][dispmath]x=-1\quad\lor\quad 2\le x\le 6[/dispmath][dispmath]x\in\left\{-1,2,3,4,5,6\right\}[/dispmath]Broj celobrojnih rešenja je, dakle, [inlmath]6[/inlmath].

Zadatak se vrlo brzo reši korišćenjem tablice, tj. odredjivanjem znaka prvog i drugog faktora.