-
+1
Ovi korisnici su zahvalili autoru
Daniel za post:
maxaa
Reputacija: 4.55%
od Daniel » Petak, 28. Jun 2013, 23:20
Definisanost si dobro odredio, tu si uzeo u obzir oba slučaja što se tiče apsolutne vrednosti...
Ali, koliko vidim, dalji postupak si radio samo pod pretpostavkom da je izraz unutar apsolutne vrednosti pozitivan? Nigde nisi razmatrao onaj drugi slučaj?
Zatim, ne razumem ono izjednačavanje brojioca s nulom? Ti si na taj način dobio da je [inlmath]x=-\frac{1}{2}[/inlmath], pa si tek na kraju znak jednakosti zamenio znakom [inlmath]<[/inlmath].
Ali, kako si znao da li na kraju da umesto [inlmath]=[/inlmath] staviš [inlmath]<[/inlmath], budući da je taj znak mogao u toku postupka promeniti smer (kao što i jeste promenio smer)?
Osim toga, pri rešavanju nejednačine u kojoj je dato da je razlomak manji od nule, treba uzeti u obzir ne samo znak brojioca, nego i znak imenioca.
Evo kako bih ja radio.
Određivanje domena ću preskočiti, jer si ti to ispravno odredio, znači, [inlmath]x\ne 0[/inlmath].
E sad, razmatramo dva slučaja, u zavisnosti od predznaka izraza unutar apsolutne vrednosti:
[inlmath]I[/inlmath] slučaj: [inlmath]-1+5^{x+1}\ge 0[/inlmath]
[inlmath]5^{x+1}\ge 1[/inlmath]
[inlmath]5^{x+1}\ge 5^0[/inlmath]
[inlmath]x+1\ge 0[/inlmath]
[inlmath]\underline{x\ge -1}[/inlmath][dispmath]\frac{3\cdot 3^{2x}-4\cdot 4^{2x}}{-1+5^{x+1}-4}<0[/dispmath][dispmath]\frac{3\cdot 3^{2x}-4\cdot 4^{2x}}{5^{x+1}-5}<0[/dispmath][dispmath]\frac{3^{2x}\left[3-4\cdot\left(\frac{4}{3}\right)^{2x}\right]}{5\left(5^x-1\right)}<0[/dispmath][dispmath]\frac{3-4\cdot\left(\frac{4}{3}\right)^{2x}}{5^x-1}<0[/dispmath][dispmath]\left[3-4\cdot\left(\frac{4}{3}\right)^{2x}>0\quad\land\quad 5^x-1<0\right]\quad\lor\quad\left[3-4\cdot\left(\frac{4}{3}\right)^{2x}<0\quad\land\quad 5^x-1>0\right][/dispmath][dispmath]\left[4\cdot\left(\frac{4}{3}\right)^{2x}<3\quad\land\quad 5^x<1\right]\quad\lor\quad\left[4\cdot\left(\frac{4}{3}\right)^{2x}>3\quad\land\quad 5^x>1\right][/dispmath][dispmath]\left[\left(\frac{4}{3}\right)^{2x}<\frac{3}{4}\quad\land\quad 5^x<5^0\right]\quad\lor\quad\left[\left(\frac{4}{3}\right)^{2x}>\frac{3}{4}\quad\land\quad 5^x>5^0\right][/dispmath][dispmath]\left[\left(\frac{4}{3}\right)^{2x}<\left(\frac{4}{3}\right)^{-1}\quad\land\quad x<0\right]\quad\lor\quad\left[\left(\frac{4}{3}\right)^{2x}>\left(\frac{4}{3}\right)^{-1}\quad\land\quad x>0\right][/dispmath]Pošto je osnova veća od jedinice, eksponencijalna funkcija je rastuća, tako da pri upoređivanju eksponenata znak nejednakosti neće promeniti smer:[dispmath]\left(2x<-1\quad\land\quad x<0\right)\quad\lor\quad\left(2x>-1\quad\land\quad x>0\right)[/dispmath][dispmath]\left(x<-\frac{1}{2}\quad\land\quad x<0\right)\quad\lor\quad\left(x>-\frac{1}{2}\quad\land\quad x>0\right)[/dispmath][dispmath]x<-\frac{1}{2}\quad\lor\quad x>0[/dispmath]U preseku s uslovom ovog slučaja, [inlmath]x\ge -1[/inlmath], dobijamo[dispmath]\underline{-1\le x<-\frac{1}{2}\quad\lor\quad x>0}[/dispmath]
[inlmath]II[/inlmath] slučaj: [inlmath]-1+5^{x+1}<0[/inlmath]
[inlmath]5^{x+1}<1[/inlmath]
[inlmath]5^{x+1}<5^0[/inlmath]
[inlmath]x+1<0[/inlmath]
[inlmath]\underline{x<-1}[/inlmath][dispmath]\frac{3\cdot 3^{2x}-4\cdot 4^{2x}}{1-5^{x+1}-4}<0[/dispmath][dispmath]\frac{3\cdot 3^{2x}-4\cdot 4^{2x}}{-5^{x+1}-3}<0[/dispmath][dispmath]\frac{3^{2x}\left[3-4\cdot\left(\frac{4}{3}\right)^{2x}\right]}{-5^{x+1}-3}<0[/dispmath][dispmath]\frac{3-4\cdot\left(\frac{4}{3}\right)^{2x}}{-5^{x+1}-3}<0[/dispmath][dispmath]\left[3-4\cdot\left(\frac{4}{3}\right)^{2x}>0\quad\land\quad -5^{x+1}-3<0\right]\quad\lor\quad\left[3-4\cdot\left(\frac{4}{3}\right)^{2x}<0\quad\land\quad -5^{x+1}-3>0\right][/dispmath][dispmath]\left[4\cdot\left(\frac{4}{3}\right)^{2x}<3\quad\land\quad 5^{x+1}>-3\right]\quad\lor\quad\left[4\cdot\left(\frac{4}{3}\right)^{2x}>3\quad\land\quad 5^{x+1}<-3\right][/dispmath][dispmath]\left[\left(\frac{4}{3}\right)^{2x}<\frac{3}{4}\quad\land\quad\top\right]\quad\lor\quad\cancelto{\bot}{\left[\left(\frac{4}{3}\right)^{2x}>\frac{3}{4}\quad\land\quad\bot\right]}[/dispmath][dispmath]\left(\frac{4}{3}\right)^{2x}<\frac{3}{4}\quad\lor\quad\bot[/dispmath][dispmath]\left(\frac{4}{3}\right)^{2x}<\left(\frac{4}{3}\right)^{-1}[/dispmath]Pošto je osnova veća od jedinice, eksponencijalna funkcija je rastuća, tako da pri upoređivanju eksponenata znak nejednakosti neće promeniti smer:[dispmath]2x<-1[/dispmath][dispmath]x<-\frac{1}{2}[/dispmath]U preseku s uslovom ovog slučaja, [inlmath]x<-1[/inlmath], dobijamo[dispmath]\underline{x<-1}[/dispmath]Unija rešenja [inlmath]I[/inlmath] i [inlmath]II[/inlmath] slučaja:[dispmath]\left(-1\le x<-\frac{1}{2}\quad\lor\quad x>0\right)\quad\lor\quad x<-1[/dispmath][dispmath]\underline{x<-\frac{1}{2}\quad\lor\quad x>0}[/dispmath]U preseku s uslovom definisanosti, [inlmath]x\ne 0[/inlmath], ostaje isti ovaj skup rešenja:[dispmath]x<-\frac{1}{2}\quad\lor\quad x>0[/dispmath]tj.[dispmath]\enclose{box}{x\in\left(-\infty,-\frac{1}{2}\right)\cup\left(0,+\infty\right)}[/dispmath]
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain