MATEMANIJA

Dobijem [inlmath]x=-\frac{1}{2}[/inlmath] i [inlmath]x\not=0[/inlmath], ali ne razumem kako da prikazem resenje u obliku koji oni traze (naravno ovo sto sam ja dobio ne znaci da je tacno).

20. Skup svih realnih vrednosti [inlmath]x[/inlmath] za koje važi nejednakost [inlmath]\frac{3\cdot 3^{2x}-4\cdot 4^{2x}}{|-1+5^{x+1}|-4}<0[/inlmath] je oblika (za neke realne brojeve [inlmath]a,b[/inlmath] takve da je [inlmath]-\infty < a<b<+\infty[/inlmath]):

(A) [inlmath]\left(0,a\right)[/inlmath]
(B) [inlmath]\left(-\infty, a \right)\cup\left(b,+\infty \right)[/inlmath]
(C) [inlmath]\left[a,b\right][/inlmath]
(D) [inlmath]\left(a,b\right)[/inlmath]
(E) [inlmath]\left(a,b \right)\cup\left(b,+\infty \right)[/inlmath]

Ovako, na brzinu, zasad... Nešto ne štima u tvom rešenju... Jer, ako je jedino rešenje [inlmath]x=-\frac{1}{2}[/inlmath], šta će ti onda [inlmath]x\ne 0[/inlmath], to je suvišno, to se podrazumeva...

Drugo, pošto u zadatku imaš nejednačinu, trebalo bi da kao rešenja dobiješ intervale, a ne konačan broj vrednosti?

Pardon, dobio sam da je [inlmath]x<-\frac{1}{2}[/inlmath] i [inlmath]x\not=0[/inlmath].

Bi li nam pokazao svoj postupak, pa da ispravimo ako nešto ne valja?

Bih, rado.

Nisam mogao da okacim ovde, bila je velika slika.

Definisanost si dobro odredio, tu si uzeo u obzir oba slučaja što se tiče apsolutne vrednosti...

Ali, koliko vidim, dalji postupak si radio samo pod pretpostavkom da je izraz unutar apsolutne vrednosti pozitivan? Nigde nisi razmatrao onaj drugi slučaj?

Zatim, ne razumem ono izjednačavanje brojioca s nulom? Ti si na taj način dobio da je [inlmath]x=-\frac{1}{2}[/inlmath], pa si tek na kraju znak jednakosti zamenio znakom [inlmath]<[/inlmath].
Ali, kako si znao da li na kraju da umesto [inlmath]=[/inlmath] staviš [inlmath]<[/inlmath], budući da je taj znak mogao u toku postupka promeniti smer (kao što i jeste promenio smer)?

Osim toga, pri rešavanju nejednačine u kojoj je dato da je razlomak manji od nule, treba uzeti u obzir ne samo znak brojioca, nego i znak imenioca.

Evo kako bih ja radio.
Određivanje domena ću preskočiti, jer si ti to ispravno odredio, znači, [inlmath]x\ne 0[/inlmath].

E sad, razmatramo dva slučaja, u zavisnosti od predznaka izraza unutar apsolutne vrednosti:

[inlmath]I[/inlmath] slučaj: [inlmath]-1+5^{x+1}\ge 0[/inlmath]
[inlmath]5^{x+1}\ge 1[/inlmath]
[inlmath]5^{x+1}\ge 5^0[/inlmath]
[inlmath]x+1\ge 0[/inlmath]
[inlmath]\underline{x\ge -1}[/inlmath][dispmath]\frac{3\cdot 3^{2x}-4\cdot 4^{2x}}{-1+5^{x+1}-4}<0[/dispmath][dispmath]\frac{3\cdot 3^{2x}-4\cdot 4^{2x}}{5^{x+1}-5}<0[/dispmath][dispmath]\frac{3^{2x}\left[3-4\cdot\left(\frac{4}{3}\right)^{2x}\right]}{5\left(5^x-1\right)}<0[/dispmath][dispmath]\frac{3-4\cdot\left(\frac{4}{3}\right)^{2x}}{5^x-1}<0[/dispmath][dispmath]\left[3-4\cdot\left(\frac{4}{3}\right)^{2x}>0\quad\land\quad 5^x-1<0\right]\quad\lor\quad\left[3-4\cdot\left(\frac{4}{3}\right)^{2x}<0\quad\land\quad 5^x-1>0\right][/dispmath][dispmath]\left[4\cdot\left(\frac{4}{3}\right)^{2x}<3\quad\land\quad 5^x<1\right]\quad\lor\quad\left[4\cdot\left(\frac{4}{3}\right)^{2x}>3\quad\land\quad 5^x>1\right][/dispmath][dispmath]\left[\left(\frac{4}{3}\right)^{2x}<\frac{3}{4}\quad\land\quad 5^x<5^0\right]\quad\lor\quad\left[\left(\frac{4}{3}\right)^{2x}>\frac{3}{4}\quad\land\quad 5^x>5^0\right][/dispmath][dispmath]\left[\left(\frac{4}{3}\right)^{2x}<\left(\frac{4}{3}\right)^{-1}\quad\land\quad x<0\right]\quad\lor\quad\left[\left(\frac{4}{3}\right)^{2x}>\left(\frac{4}{3}\right)^{-1}\quad\land\quad x>0\right][/dispmath]Pošto je osnova veća od jedinice, eksponencijalna funkcija je rastuća, tako da pri upoređivanju eksponenata znak nejednakosti neće promeniti smer:[dispmath]\left(2x<-1\quad\land\quad x<0\right)\quad\lor\quad\left(2x>-1\quad\land\quad x>0\right)[/dispmath][dispmath]\left(x<-\frac{1}{2}\quad\land\quad x<0\right)\quad\lor\quad\left(x>-\frac{1}{2}\quad\land\quad x>0\right)[/dispmath][dispmath]x<-\frac{1}{2}\quad\lor\quad x>0[/dispmath]U preseku s uslovom ovog slučaja, [inlmath]x\ge -1[/inlmath], dobijamo[dispmath]\underline{-1\le x<-\frac{1}{2}\quad\lor\quad x>0}[/dispmath]
[inlmath]II[/inlmath] slučaj: [inlmath]-1+5^{x+1}<0[/inlmath]
[inlmath]5^{x+1}<1[/inlmath]
[inlmath]5^{x+1}<5^0[/inlmath]
[inlmath]x+1<0[/inlmath]
[inlmath]\underline{x<-1}[/inlmath][dispmath]\frac{3\cdot 3^{2x}-4\cdot 4^{2x}}{1-5^{x+1}-4}<0[/dispmath][dispmath]\frac{3\cdot 3^{2x}-4\cdot 4^{2x}}{-5^{x+1}-3}<0[/dispmath][dispmath]\frac{3^{2x}\left[3-4\cdot\left(\frac{4}{3}\right)^{2x}\right]}{-5^{x+1}-3}<0[/dispmath][dispmath]\frac{3-4\cdot\left(\frac{4}{3}\right)^{2x}}{-5^{x+1}-3}<0[/dispmath][dispmath]\left[3-4\cdot\left(\frac{4}{3}\right)^{2x}>0\quad\land\quad -5^{x+1}-3<0\right]\quad\lor\quad\left[3-4\cdot\left(\frac{4}{3}\right)^{2x}<0\quad\land\quad -5^{x+1}-3>0\right][/dispmath][dispmath]\left[4\cdot\left(\frac{4}{3}\right)^{2x}<3\quad\land\quad 5^{x+1}>-3\right]\quad\lor\quad\left[4\cdot\left(\frac{4}{3}\right)^{2x}>3\quad\land\quad 5^{x+1}<-3\right][/dispmath][dispmath]\left[\left(\frac{4}{3}\right)^{2x}<\frac{3}{4}\quad\land\quad\top\right]\quad\lor\quad\cancelto{\bot}{\left[\left(\frac{4}{3}\right)^{2x}>\frac{3}{4}\quad\land\quad\bot\right]}[/dispmath][dispmath]\left(\frac{4}{3}\right)^{2x}<\frac{3}{4}\quad\lor\quad\bot[/dispmath][dispmath]\left(\frac{4}{3}\right)^{2x}<\left(\frac{4}{3}\right)^{-1}[/dispmath]Pošto je osnova veća od jedinice, eksponencijalna funkcija je rastuća, tako da pri upoređivanju eksponenata znak nejednakosti neće promeniti smer:[dispmath]2x<-1[/dispmath][dispmath]x<-\frac{1}{2}[/dispmath]U preseku s uslovom ovog slučaja, [inlmath]x<-1[/inlmath], dobijamo[dispmath]\underline{x<-1}[/dispmath]Unija rešenja [inlmath]I[/inlmath] i [inlmath]II[/inlmath] slučaja:[dispmath]\left(-1\le x<-\frac{1}{2}\quad\lor\quad x>0\right)\quad\lor\quad x<-1[/dispmath][dispmath]\underline{x<-\frac{1}{2}\quad\lor\quad x>0}[/dispmath]U preseku s uslovom definisanosti, [inlmath]x\ne 0[/inlmath], ostaje isti ovaj skup rešenja:[dispmath]x<-\frac{1}{2}\quad\lor\quad x>0[/dispmath]tj.[dispmath]\enclose{box}{x\in\left(-\infty,-\frac{1}{2}\right)\cup\left(0,+\infty\right)}[/dispmath]

Daniel je napisao:Zatim, ne razumem ono izjednačavanje brojioca s nulom? Ti si na taj način dobio da je [inlmath]x=-\frac{1}{2}[/inlmath], pa si tek na kraju znak jednakosti zamenio znakom [inlmath]<[/inlmath].
Ali, kako si znao da li na kraju da umesto [inlmath]=[/inlmath] staviš [inlmath]<[/inlmath], budući da je taj znak mogao u toku postupka promeniti smer (kao što i jeste promenio smer)?

Nisam znao da to ne smem da radim, mislio da kada odredim da je izraz jednak nuli, nakon toga samo kazem da je manji od nule za tu vrednost. :facepalm:

Sad sam uradio zadatak u potpunosti, nije tezak uopste, ali toliko treba voditi racuna da je to neverovatno.

EDIT: Hvala na objasnjenju (BOLJE NIJE MOGLO)! :clap: