MATEMANIJA

Potreban mi je dokaz da su sledeci brojevi jednaki, ziv se polomi
[dispmath]2^{\sqrt{\log_22011}}[/dispmath] [dispmath]2011^{\sqrt{\log_{2011}2}}[/dispmath]

Logaritmujemo oba broja:[dispmath]\ln 2^{\sqrt{\log_2 2011}}=\ln 2011^{\sqrt{\log_{2011}2}}[/dispmath][dispmath]\sqrt{\log_2 2011}\cdot\ln 2=\sqrt{\log_{2011}2}\cdot\ln 2011[/dispmath][dispmath]\sqrt{\frac{\ln 2011}{\ln 2}}\cdot\ln 2=\sqrt{\frac{\ln 2}{\ln 2011}}\cdot\ln 2011[/dispmath][dispmath]\sqrt{\ln 2011\cdot\ln 2}=\sqrt{\ln 2\cdot\ln2011}[/dispmath]čime je jednakost dokazana.

Ja sam pokusao sa osnovom [inlmath]2[/inlmath], pretpostavljam da se tako gubi neki deo? Je l' moze da bude jos neka osnova sem [inlmath]e[/inlmath] i [inlmath]2[/inlmath] i [inlmath]2011[/inlmath], posto se gubi?
I jos jedno pitanje Posto u zadatku kaze uporedi ova 2 broja mi smemo da postavimo jednakost i logaritmujemo?

_Mita je napisao:Ja sam pokusao sa osnovom [inlmath]2[/inlmath], pretpostavljam da se tako gubi neki deo? Je l' moze da bude jos neka osnova sem [inlmath]e[/inlmath] i [inlmath]2[/inlmath] i [inlmath]2011[/inlmath], posto se gubi?

Može za koju god hoćeš osnovu. Ja obično uzmem prirodni logaritam, jer mi je kraće da pišem [inlmath]\ln[/inlmath] umesto [inlmath]\log[/inlmath] za neku osnovu. Ali, da, komotno možeš svuda gde si u mom postupku video [inlmath]\ln[/inlmath] da staviš logaritam za bilo koju osnovu i ništa se neće promeniti, isto ćeš doći do jednakosti.
Da, nešto bi se kratilo da sam uzeo logaritam za osnovu [inlmath]2[/inlmath] ili za osnovu [inlmath]2011[/inlmath], ali to je manje bitno, bitno je da se dođe do izraza koji su međusobno jednaki.
Evo baš kako bi izgledalo s logaritmom za osnovu [inlmath]2[/inlmath]:[dispmath]\log_2 2^{\sqrt{\log_2 2011}}=\log_2 2011^{\sqrt{\log_{2011}2}}[/dispmath][dispmath]\sqrt{\log_2 2011}\cdot\cancelto{1}{\log_2 2}=\sqrt{\log_{2011}2}\cdot\log_2 2011[/dispmath][dispmath]\sqrt{\log_2 2011}=\sqrt{\frac{1}{\log_2 2011}}\cdot\log_2 2011[/dispmath][dispmath]\sqrt{\log_2 2011}=\frac{\log_2 2011}{\sqrt{\log_2 2011}}[/dispmath]pa sad imamo dva načina, možemo na desnoj strani jednostavno da brojilac podelimo imeniocem i dobijamo[dispmath]\sqrt{\log_2 2011}=\sqrt{\log_2 2011}[/dispmath]a mogli smo i da pomnožimo obe strane sa [inlmath]\sqrt{\log_2 2011}[/inlmath] i dobili bismo[dispmath]\log_2 2011=\log_2 2011[/dispmath]kako god okreneš, jednakost je dokazana.

_Mita je napisao:I jos jedno pitanje Posto u zadatku kaze uporedi ova 2 broja mi smemo da postavimo jednakost i logaritmujemo?

Mi krećemo od pretpostavke da su ta dva broja jednaka. Zato pišemo između njih znak jednakosti i onda to svodimo na izraz iz koga se to neposredno i vidi. Na taj način je prvobitna pretpostavka dokazana. Nasuprot ovom primeru, kad treba dokazati da nešto nije tačno, često se kreće od pretpostavke da jeste tačno, pa se dođe do kontradikcije, čime je netačnost dokazana.

Sad je sve jasno