MATEMANIJA

Proizvod svih resenja jednacine [inlmath]\sqrt[3]{2-x}+\sqrt{x-1}=1[/inlmath] je:

Probala sam da podignem celu jednacinu na sesti (prvo sam prebacila [inlmath]\sqrt{x-1}[/inlmath] na desnu stranu), ali ne ide. A drugu ideju nemam. Treba mi samo smernica za pocetak.

Pokusao sam i ja da resim zadatak, takodje sa prebacivanjem drugog sabirka na desnu stranu, dodavanjem i oduzimanjem iste vrednosti potkorenoj velicini, ali ne uspevam da resim.

EDIT: Mozda da se logaritmuje, to mi sad pade na pamet.

[dispmath]\sqrt[3]{2-x}+\sqrt{x-1}=1[/dispmath]
Početni uslov: [inlmath]x-1\ge 0\quad\Rightarrow\quad x\ge 1[/inlmath][dispmath]\sqrt[3]{2-x}=1-\sqrt{x-1}\quad /\left(\;\right)^3[/dispmath][dispmath]2-x=1-3\sqrt{x-1}+3\left(x-1\right)-\left(x-1\right)\sqrt{x-1}[/dispmath][dispmath]-4x+4=\left(-x-2\right)\sqrt{x-1}[/dispmath][dispmath]4\left(x-1\right)=\left(x+2\right)\sqrt{x-1}[/dispmath][dispmath]4\sqrt{x-1}\sqrt{x-1}=\left(x+2\right)\sqrt{x-1}[/dispmath][dispmath]4\sqrt{x-1}\sqrt{x-1}-\left(x+2\right)\sqrt{x-1}=0[/dispmath][dispmath]\sqrt{x-1}\left[4\sqrt{x-1}-\left(x+2\right)\right]=0[/dispmath][dispmath]\sqrt{x-1}=0\quad\lor\quad 4\sqrt{x-1}-\left(x+2\right)=0[/dispmath][dispmath]x=1\quad\lor\quad 4\sqrt{x-1}=x+2[/dispmath][inlmath]\underline{x=1}[/inlmath] jedno rešenje (zadovoljava početni uslov [inlmath]x\ge 1[/inlmath])

Pošto je leva strana [inlmath]\ge 0[/inlmath], mora biti i desna strana:
[inlmath]x+2\ge 0\quad\Rightarrow\quad x\ge -2[/inlmath]
što je već obuhvaćeno početnim uslovom [inlmath]x\ge 1[/inlmath].
Kvadriramo:[dispmath]16\left(x-1\right)=x^2+4x+4[/dispmath][dispmath]16x-16=x^2+4x+4[/dispmath][dispmath]x^2-12x+20=0[/dispmath][dispmath]x_{1,2}=\frac{12\pm\sqrt{144-80}}{2}[/dispmath][dispmath]x_{1,2}=6\pm 4[/dispmath][dispmath]x_1=2,\quad x_2=10[/dispmath]I ova rešenja zadovoljavaju početni uslov [inlmath]x\ge 1[/inlmath].
Proizvod rešenja je [inlmath]1\cdot\ 2\cdot 10[/inlmath]