MATEMANIJA

Prijemni ispit ETF – 24. jun 2019.
10. zadatak

Zbir svih realnih rešenja jednačine [inlmath]\sqrt{4x^2+9x+5}-\sqrt{2x^2+x−1}=\sqrt{x^2−1}[/inlmath] jeste:
[inlmath]\enclose{circle}{A)}\;4;\quad[/inlmath] [inlmath]B)\;6;\quad[/inlmath] [inlmath]\displaystyle C)\;\frac{26}{7};\quad[/inlmath] [inlmath]\displaystyle D)\;\frac{44}{7};\quad[/inlmath] [inlmath]\displaystyle E)\;\frac{-16}{7}.[/inlmath]

---

Počela sam tako što sam postavila uslove da ono ispod korena bude [inlmath]\ge0[/inlmath]. Prebacila sam drugi koren na desnu stranu i kvadrirala. Ali ne znam kako dalje da sredim jednačinu.

Pozdrav! Da, juče sam ga i ja radio, i mogu reći da je drugačiji nego što se inače viđaju. Ipak, shvatio sam da kada svaku od potkorenih veličina transformišeš u proizvod zagrada, i to tako da bude:
[dispmath]\sqrt{4x^2+9x+5}-\sqrt{2x^2+x−1}=\sqrt{x^2−1}\iff\sqrt{(x+1)(4x+5)}-\sqrt{(x+1)(2x-1)}=\sqrt{(x+1)(x-1)}[/dispmath] imaćeš dve mogućnosti:

• da je [inlmath]\sqrt{x+1}=0[/inlmath], to jest da je [inlmath]x_1=-1[/inlmath], što ako proveriš (zameni [inlmath]x=-1[/inlmath] u jednačinu) jeste rešenje;
• da je [inlmath]\sqrt{x+1}\ne0[/inlmath], te treba da podeliš jednačinu sa [inlmath]\sqrt{x+1}[/inlmath], te dobijaš jednačinu [inlmath]\sqrt{4x+5}-\sqrt{2x-1}=\sqrt{x-1}[/inlmath] u kojoj treba da odrediš domen i da je rešiš na standardni način - dobićeš dva rešenja, ali će samo [inlmath]x_2=5[/inlmath] biti unutar definicionog područja.

Konačno je i traženi zbir rešenja time [inlmath]x_1+x_2=-1+5=4[/inlmath].

Ne bih se toga uopšte setila, hvala puno!

Samo bih dopunio da je slučaj [inlmath]\sqrt{x+1}\ne0[/inlmath] potrebno podeliti na dva podslučaja (pošto [inlmath]\sqrt{ab}=\sqrt a\sqrt b[/inlmath] ne važi ako su i [inlmath]a[/inlmath] i [inlmath]b[/inlmath] negativni):

• [inlmath]x+1>0[/inlmath] tada se jednačina svodi na [inlmath]\cancel{\sqrt{x+1}}\sqrt{4x+5}-\cancel{\sqrt{x+1}}\sqrt{2x-1}=\cancel{\sqrt{x+1}}\sqrt{x-1}[/inlmath]
• [inlmath]x+1<0[/inlmath] tada se jednačina svodi na [inlmath]\cancel{\sqrt{-x-1}}\sqrt{-4x-5}-\cancel{\sqrt{-x-1}}\sqrt{1-2x}=\cancel{\sqrt{-x-1}}\sqrt{1-x}[/inlmath]

Za drugi podslučaj se dobije rešenje [inlmath]x=-\frac{9}{7}[/inlmath], ali to rešenje ne ispunjava uslov tog drugog podslučaja, tako da to rešenje odbacujemo.

[dispmath]\sqrt{(x+1)(4x+5)}-\sqrt{(x+1)(2x-1)}=\sqrt{(x+1)(x-1)}[/dispmath] Nije mi jasno kako ovde imamo dve mogućnosti:
[dispmath]x+1>0[/dispmath][dispmath]x+1<0[/dispmath]

Imamo i treću, [inlmath]x+1=0[/inlmath]. Pročitaj temu od početka, sve je objašnjeno.

Ili malo preciznije formuliši svoje pitanje, kako bismo znali šta treba da objasnimo.

Uradio sam zadatak ponovo i dobio tačno rešenje.
U početku mi nije bilo jasno zašto smo postavili uslove, odnosno odredili da mogu biti dva scenarija (za [inlmath]\sqrt{x+1}=0[/inlmath] i [inlmath]\sqrt{x+1}\ne0[/inlmath]), ali kasnije sam ukapirao zašto je to tako.
Hvala na odgovoru.

Pozdrav! Zadatak sa početka teme sam pokušao da uradim na malo drugačiji način (meni logičniji), ali nisam uspeo jer nailazim na izvesne poteškoće. Princip po kojem sam radio zadatak je identičan principu prikazanom u prethodnim postovima (ove teme), samo je "formulacija" malo drugačija.
Jednačina [inlmath]\sqrt{4x^2+9x+5}-\sqrt{2x^2+x−1}=\sqrt{x^2−1}[/inlmath] je ekvivalentna jednačini [inlmath]\sqrt{(x+1)(4x+5)}-\sqrt{(x+1)(2x-1)}=\sqrt{(x+1)(x-1)}[/inlmath] (kao što je već napisano).
Služeći se implikacijom [inlmath]a\cdot b\ge0\hspace{4mm}\Longrightarrow\hspace{4mm}a\ge0\hspace{2mm}\land\hspace{2mm}b\ge0\hspace{4mm}\lor\hspace{4mm}a\le 0\hspace{2mm}\land\hspace{2mm}b\le0[/inlmath] zadatak sam podelio na dva slučaja:
Prvi slučaj: svi činioci ispod korenova su nenegativni, tj.
[dispmath]x+1\ge0\hspace{2mm}\land\hspace{2mm}4x+5\ge0\hspace2mm\land\hspace{2mm}x-1\ge0\hspace{2mm}\land\hspace{2mm}2x-1\ge0[/dispmath] Presek ovih uslova daje [inlmath]x\ge1[/inlmath]. Pod ovim uslovom početna jednačina se može napisati u obliku
[dispmath]\sqrt{x+1}\sqrt{4x+5}-\sqrt{x+1}\sqrt{2x-1}=\sqrt{x+1}\sqrt{x-1}[/dispmath] (sređivanje jednačine mi ne predstavlja problem, tako da taj deo neću pisati).
Drugi slučaj: svi činioci ispod korenova su nepozitivni, tj.
[dispmath]x+1\le0\hspace{2mm}\land\hspace{2mm}4x+5\le0\hspace2mm\land\hspace{2mm}x-1\le0\hspace{2mm}\land\hspace{2mm}2x-1\le0[/dispmath] Presek ovih uslova daje [inlmath]x\le-\frac{5}{4}[/inlmath]. Pod ovim uslovom početna jednačina se može napisati u obliku
[dispmath]\sqrt{-x-1}\sqrt{-4x-5}-\sqrt{-x-1}\sqrt{-2x+1}=\sqrt{-x-1}\sqrt{-x+1}[/dispmath] Po mom, definiciono područje početne jednačine je [inlmath]\left(-\infty,-\frac{5}{4}\right]\cup\left[1,+\infty\right)[/inlmath]. Očigledno sam negde izgubio [inlmath]-1[/inlmath] kao jednu od vrednosti za koju je početna jednačina definisana. (kada potkorene veličine posmatram kao kvadratne nejednačine onda mi oblast definisanosti ispadne kako treba, tj. ne gubi se [inlmath]-1[/inlmath]) Gde se potkrala greška i da li je moj postupak uopšte ispravan? Hvala!

Da li važi implikacija
[dispmath]ab\ge0\;\land\;ac\ge0\;\Longrightarrow\;(a\ge0\;\land\;b\ge0\;\land\;c\ge0)\;\lor\;(a\le0\;\land\;b\le0\;\land\;c\le0)[/dispmath] i zbog čega ne?

Zaista ne uspevam da skužim zbog čega pomenuta implikacija ne važi. Pokušao sam da uvrštavanjem konkretnih brojnih vrednosti dođem do odgovora, ali, ćorak...

@Frank Stavi [inlmath]a=0[/inlmath] i [inlmath]b,c\in\mathbb{R}[/inlmath]

Ili, preciznije, [inlmath]a=0[/inlmath], [inlmath]b>0[/inlmath], [inlmath]c<0[/inlmath].

U čemu je, dakle, štos – kada je [inlmath]a=0[/inlmath], tada će i [inlmath]ab[/inlmath] i [inlmath]ac[/inlmath] biti jednaki nuli, nezavisno od vrednosti [inlmath]b[/inlmath] i [inlmath]c[/inlmath], a pošto znak [inlmath]\ge0[/inlmath] uključuje i jednakost s nulom, to znači da će, kada je [inlmath]a=0[/inlmath], važiti i [inlmath]ab\ge0[/inlmath] i [inlmath]ac\ge0[/inlmath], nezavisno od vrednosti [inlmath]b[/inlmath] i [inlmath]c[/inlmath].
Dakle, kada je [inlmath]a=0[/inlmath], tada nam činjenica da je [inlmath]ab\ge0\;\land\;ac\ge0[/inlmath] ništa ne govori o znaku [inlmath]b[/inlmath] i [inlmath]c[/inlmath]. Mogu biti istog, a mogu biti i različitog znaka. Zbog toga implikacija da iz [inlmath]ab\ge0\;\land\;ac\ge0[/inlmath] sledi da su [inlmath]b[/inlmath] i [inlmath]c[/inlmath] istog znaka – nije tačna.
Kontraprimer bi bio [inlmath](a,b,c)=(0,1,-1)[/inlmath]. Uvrstimo to u pomenutu implikaciju:
[dispmath]ab\ge0\;\land\;ac\ge0\;\Longrightarrow\;(a\ge0\;\land\;b\ge0\;\land\;c\ge0)\;\lor\;(a\le0\;\land\;b\le0\;\land\;c\le0)\\
0\ge0\;\land\;0\ge0\;\Longrightarrow\;(0\ge0\;\land\;1\ge0\;\land\;-1\ge0)\;\lor\;(0\le0\;\land\;1\le0\;\land\;-1\le0)\\
\top\;\land\;\top\;\Longrightarrow\;(\top\;\land\;\top\;\land\;\bot)\;\lor\;(\top\;\land\;\bot\;\land\;\top)\\
\top\;\Longrightarrow\;\bot\;\lor\;\bot\\
\top\;\Longrightarrow\;\bot[/dispmath] I, pošto znamo da je implikacija netačna onda kada je leva strana tačna a desna netačna, ova implikacija je netačna.

Sasvim bi druga priča bila kada bismo umesto znakova [inlmath]\ge[/inlmath] imali znakove [inlmath]>[/inlmath]. Tada bismo umesto [inlmath]ab\ge0[/inlmath] i [inlmath]ac\ge0[/inlmath] imali [inlmath]ab>0[/inlmath] i [inlmath]ac>0[/inlmath], i samim tim bi bila isključena mogućnost [inlmath]a=0[/inlmath]. Tada bi zaista sledilo da [inlmath]a[/inlmath], [inlmath]b[/inlmath] i [inlmath]c[/inlmath] moraju biti istog znaka (ili sva tri pozitivna, ili sva tri negativna).

---

Vratimo se sada na naš primer. U njemu imamo uslove
[dispmath](x+1)(4x+5)\ge0\;\land\;(x+1)(2x-1)\ge0\;\land\;(x+1)(x-1)\ge0[/dispmath] i, za slučaj [inlmath]x+1=0[/inlmath], ovi ostali faktori mogu biti bilo koje vrednosti (samim tim i bilo kog znaka) – gornje nejednakosti će biti zadovoljene.
Zbog toga se moraju odvojeno razmatrati tri slučaja – [inlmath]x>0[/inlmath], [inlmath]x=0[/inlmath] i [inlmath]x<0[/inlmath].
(A i generalno, kad za neku vrednost prvo razmatraš slučaj da je [inlmath]\ge0[/inlmath], tada nema potrebe nakon toga razmatrati [inlmath]\le0[/inlmath] kako si ti radio, već samo [inlmath]<0[/inlmath], jer je jednakost s nulom već bila uključena unutar prvog slučaja, pa nema potrebe da bude i unutar drugog.)
Za domen zadate nejednačine na kraju će se dobiti [inlmath]\left(-\infty,-\frac{5}{4}\right]\cup\{0\}\cup\left[1,+\infty\right)[/inlmath].

Jedna mala ispravka. Domen će biti [inlmath]\left(-\infty,-\frac{5}{4}\right]\cup\{-1\}\cup[1,\infty)[/inlmath]

Dabome, treba da stoji [inlmath]\{-1\}[/inlmath] umesto [inlmath]\{0\}[/inlmath]. Hvala na ispravci!