Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica OSTALE MATEMATIČKE OBLASTI ALGEBRA

Kvadratna jednačina – ETF Prijemni [17/2009]

[inlmath]a^2-b^2=\left(a+b\right)\left(a-b\right)[/inlmath]

Kvadratna jednačina – ETF Prijemni [17/2009]

Postod maxaa » Nedelja, 30. Jun 2013, 03:30

Nije mi jasan zadatak, kako moze ova kvadratna jednacina da bude jednaka nuli, kada je to deo od razlike kubova koji je uvek pozitivan?


17. Ako je [inlmath]x^2+x+1=0[/inlmath], tada je izraz [inlmath]x^{2009}+x^{-2009}[/inlmath] jednak:
(A) [inlmath]-1[/inlmath]
(B) [inlmath]1[/inlmath]
(C) [inlmath]x-1[/inlmath]
(D) [inlmath]x+1[/inlmath]
(E) [inlmath]0[/inlmath]
Poslednji put menjao ubavic dana Utorak, 22. Oktobar 2013, 20:45, izmenjena samo jedanput
Razlog: Prebacivanje slike u LaTex
Obrazovanje, to je ono, što ostane, nakon što osoba zaboravi sve, što je naučila u školi.
Albert Einstein
Korisnikov avatar
maxaa  OFFLINE
 
Postovi: 176
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 98 puta
Pohvaljen: 20 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+

Re: Kvadratna jednačina – ETF Prijemni [17/2009]

Postod Daniel » Nedelja, 30. Jun 2013, 03:32

U kompleksnom domenu i ono što je nemoguće postaje moguće. :P
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 9300
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5151 puta
Pohvaljen: 4951 puta

Re: Kvadratna jednačina – ETF Prijemni [17/2009]

Postod maxaa » Nedelja, 30. Jun 2013, 03:37

Jel moze mala pomoc samo, da li se radi preko Ojlerove formule, tj da li je ona u opste potrebna? :)
Obrazovanje, to je ono, što ostane, nakon što osoba zaboravi sve, što je naučila u školi.
Albert Einstein
Korisnikov avatar
maxaa  OFFLINE
 
Postovi: 176
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 98 puta
Pohvaljen: 20 puta

  • +1

Re: Kvadratna jednačina – ETF Prijemni [17/2009]

Postod Daniel » Nedelja, 30. Jun 2013, 03:48

Nije potrebna. :)[dispmath]x=\frac{-1\pm i\sqrt 3}{2}[/dispmath][dispmath]x^2=\frac{1\mp i2\sqrt 3-3}{4}=\frac{-1\mp i\sqrt 3}{2}[/dispmath][dispmath]x^3=x^2\cdot x=\frac{-1\mp i\sqrt 3}{2}\cdot\frac{-1\pm i\sqrt 3}{2}=\frac{1+3}{4}=1[/dispmath]pa sada[dispmath]x^{2009}=x^{2007}\cdot x^2=\left(x^3\right)^{669}\cdot x^2[/dispmath]pa zameni [inlmath]x^3[/inlmath] i [inlmath]x^2[/inlmath]...

Slično i za [inlmath]x^{-2009}[/inlmath]...
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 9300
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5151 puta
Pohvaljen: 4951 puta

Re: Kvadratna jednačina – ETF Prijemni [17/2009]

Postod ffilipovicc98 » Ponedeljak, 19. Septembar 2016, 14:46

Evo još jednog načina koji je dosta sličan već prikazanim, ali je možda nekom jednostavniji jer se ne radi preko kompleksnih brojeva.
Nakon množenja jednačine [inlmath]x^2+x+1=0[/inlmath] sa [inlmath](x-1)[/inlmath] dobijamo
[dispmath]x^3-1=0\\
{\color{blue}x^3}=1[/dispmath]
Takodje primetimo iz polazne jednačine da je [inlmath]{\color{green}x^2+1}=-x[/inlmath], trebaće nam u nastavku

Iskoristimo to ovako:
[dispmath]x^{2009}+x^{-2009}=x^{2007}\cdot x^2+\frac{1}{x^{2007}\cdot x^2}=\left({\color{blue}x^3}\right)^{669}\cdot x^2+\frac{1}{\left({\color{blue}x^3}\right)^{669}\cdot x^2}=\\
x^2+\frac{1}{x^2}=\frac{x^4+1}{x^2}=\frac{\left({\color{green}x^2+1}\right)^2-2x^2}{x^2}=\frac{(-x)^2-2x^2}{x^2}=\frac{x^2-2x^2}{x^2}=\frac{-x^2}{x^2}=-1[/dispmath]
Nije najaktuelnija tema, ali možda nekom posluži za spremanje prijemnog :)
 
Postovi: 28
Zahvalio se: 41 puta
Pohvaljen: 12 puta

Re: Kvadratna jednačina – ETF Prijemni [17/2009]

Postod Daniel » Ponedeljak, 19. Septembar 2016, 19:42

@ffilipovicc98,
Svaka čast! :thumbup:
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 9300
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5151 puta
Pohvaljen: 4951 puta

Re: Kvadratna jednačina – ETF Prijemni [17/2009]

Postod Corba248 » Utorak, 04. April 2017, 22:00

Evo da dodam malo opštije rešenje.
Polaznu jednakost možemo transformisati na sledeći način (podelimo sa [inlmath]x[/inlmath]):
[dispmath]x^2+x+1=0\quad/:x[/dispmath][dispmath]x+\frac{1}{x}=-1[/dispmath] Sada, kako redom budemo množili uočićemo pravilnost:
[dispmath]\underbrace{\left(x+\frac{1}{x}\right)}_{-1}\underbrace{\left(x+\frac{1}{x}\right)}_{-1}=1=x^2+\frac{1}{x^2}+2[/dispmath] Pa je:
[dispmath]x^2+\frac{1}{x^2}=-1[/dispmath] Opet ponovimo slično:
[dispmath]\underbrace{\left(x^2+\frac{1}{x^2}\right)}_{-1}\underbrace{\left(x+\frac{1}{x}\right)}_{-1}=1=x^3+\frac{1}{x^3}+\underbrace{x+\frac{1}{x}}_{-1}[/dispmath] Pa je:
[dispmath]x^3+\frac{1}{x^3}=2[/dispmath] Opet pomnožimo:
[dispmath]\left(x^3+\frac{1}{x^3}\right)\left(x+\frac{1}{x}\right)=-2=x^4+\frac{1}{x^4}+x^2+\frac{1}{x^2}\;\Longrightarrow\;x^4+\frac{1}{x^4}=-1[/dispmath][dispmath]\left(x^4+\frac{1}{x^4}\right)\left(x+\frac{1}{x}\right)=1=x^5+\frac{1}{x^5}+x^3+\frac{1}{x^3}\;\Longrightarrow\;x^5+\frac{1}{x^5}=-1[/dispmath][dispmath]\left(x^5+\frac{1}{x^5}\right)\left(x+\frac{1}{x}\right)=1=x^6+\frac{1}{x^6}+x^4+\frac{1}{x^4}\;\Longrightarrow\;x^6+\frac{1}{x^6}=2[/dispmath][dispmath]\cdots[/dispmath] Možemo uočiti pravilnost:
Ako važi [inlmath]x^2+x+1=0[/inlmath] onda je [inlmath]f(x)=x^n+x^{-n}[/inlmath] jednaka:
[dispmath]f(x)=\begin{cases}
-1, & 3\!{\not|}\,n\\
2, & 3\vert n
\end{cases}[/dispmath] Dakle, ako je stepen (u ovom slučaju, [inlmath]2009[/inlmath]) deljiv sa [inlmath]3[/inlmath] onda je [inlmath]f(x)=2[/inlmath], a ako nije onda je [inlmath]f(x)=-1[/inlmath]. Kako [inlmath]2009[/inlmath] nije deljivo sa [inlmath]3[/inlmath] znači da je:
[dispmath]x^{2009}+x^{-2009}=-1[/dispmath]
Možda nekome pomogne. :)
Zaslužni forumaš
 
Postovi: 314
Zahvalio se: 37 puta
Pohvaljen: 352 puta


Povratak na ALGEBRA

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 50 gostiju

cron

Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Četvrtak, 28. Mart 2024, 11:53 • Sva vremena su u UTC + 1 sat
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs