MATEMANIJA

Nije mi jasan zadatak, kako moze ova kvadratna jednacina da bude jednaka nuli, kada je to deo od razlike kubova koji je uvek pozitivan?

---

17. Ako je [inlmath]x^2+x+1=0[/inlmath], tada je izraz [inlmath]x^{2009}+x^{-2009}[/inlmath] jednak:
(A) [inlmath]-1[/inlmath]
(B) [inlmath]1[/inlmath]
(C) [inlmath]x-1[/inlmath]
(D) [inlmath]x+1[/inlmath]
(E) [inlmath]0[/inlmath]

U kompleksnom domenu i ono što je nemoguće postaje moguće.

Jel moze mala pomoc samo, da li se radi preko Ojlerove formule, tj da li je ona u opste potrebna?

Nije potrebna. [dispmath]x=\frac{-1\pm i\sqrt 3}{2}[/dispmath][dispmath]x^2=\frac{1\mp i2\sqrt 3-3}{4}=\frac{-1\mp i\sqrt 3}{2}[/dispmath][dispmath]x^3=x^2\cdot x=\frac{-1\mp i\sqrt 3}{2}\cdot\frac{-1\pm i\sqrt 3}{2}=\frac{1+3}{4}=1[/dispmath]pa sada[dispmath]x^{2009}=x^{2007}\cdot x^2=\left(x^3\right)^{669}\cdot x^2[/dispmath]pa zameni [inlmath]x^3[/inlmath] i [inlmath]x^2[/inlmath]...

Slično i za [inlmath]x^{-2009}[/inlmath]...

Evo još jednog načina koji je dosta sličan već prikazanim, ali je možda nekom jednostavniji jer se ne radi preko kompleksnih brojeva.
Nakon množenja jednačine [inlmath]x^2+x+1=0[/inlmath] sa [inlmath](x-1)[/inlmath] dobijamo
[dispmath]x^3-1=0\\
{\color{blue}x^3}=1[/dispmath]
Takodje primetimo iz polazne jednačine da je [inlmath]{\color{green}x^2+1}=-x[/inlmath], trebaće nam u nastavku

Iskoristimo to ovako:
[dispmath]x^{2009}+x^{-2009}=x^{2007}\cdot x^2+\frac{1}{x^{2007}\cdot x^2}=\left({\color{blue}x^3}\right)^{669}\cdot x^2+\frac{1}{\left({\color{blue}x^3}\right)^{669}\cdot x^2}=\\
x^2+\frac{1}{x^2}=\frac{x^4+1}{x^2}=\frac{\left({\color{green}x^2+1}\right)^2-2x^2}{x^2}=\frac{(-x)^2-2x^2}{x^2}=\frac{x^2-2x^2}{x^2}=\frac{-x^2}{x^2}=-1[/dispmath]
Nije najaktuelnija tema, ali možda nekom posluži za spremanje prijemnog

@ffilipovicc98,
Svaka čast!

Evo da dodam malo opštije rešenje.
Polaznu jednakost možemo transformisati na sledeći način (podelimo sa [inlmath]x[/inlmath]):
[dispmath]x^2+x+1=0\quad/:x[/dispmath][dispmath]x+\frac{1}{x}=-1[/dispmath] Sada, kako redom budemo množili uočićemo pravilnost:
[dispmath]\underbrace{\left(x+\frac{1}{x}\right)}_{-1}\underbrace{\left(x+\frac{1}{x}\right)}_{-1}=1=x^2+\frac{1}{x^2}+2[/dispmath] Pa je:
[dispmath]x^2+\frac{1}{x^2}=-1[/dispmath] Opet ponovimo slično:
[dispmath]\underbrace{\left(x^2+\frac{1}{x^2}\right)}_{-1}\underbrace{\left(x+\frac{1}{x}\right)}_{-1}=1=x^3+\frac{1}{x^3}+\underbrace{x+\frac{1}{x}}_{-1}[/dispmath] Pa je:
[dispmath]x^3+\frac{1}{x^3}=2[/dispmath] Opet pomnožimo:
[dispmath]\left(x^3+\frac{1}{x^3}\right)\left(x+\frac{1}{x}\right)=-2=x^4+\frac{1}{x^4}+x^2+\frac{1}{x^2}\;\Longrightarrow\;x^4+\frac{1}{x^4}=-1[/dispmath][dispmath]\left(x^4+\frac{1}{x^4}\right)\left(x+\frac{1}{x}\right)=1=x^5+\frac{1}{x^5}+x^3+\frac{1}{x^3}\;\Longrightarrow\;x^5+\frac{1}{x^5}=-1[/dispmath][dispmath]\left(x^5+\frac{1}{x^5}\right)\left(x+\frac{1}{x}\right)=1=x^6+\frac{1}{x^6}+x^4+\frac{1}{x^4}\;\Longrightarrow\;x^6+\frac{1}{x^6}=2[/dispmath][dispmath]\cdots[/dispmath] Možemo uočiti pravilnost:
Ako važi [inlmath]x^2+x+1=0[/inlmath] onda je [inlmath]f(x)=x^n+x^{-n}[/inlmath] jednaka:
[dispmath]f(x)=\begin{cases}
-1, & 3\!{\not|}\,n\\
2, & 3\vert n
\end{cases}[/dispmath] Dakle, ako je stepen (u ovom slučaju, [inlmath]2009[/inlmath]) deljiv sa [inlmath]3[/inlmath] onda je [inlmath]f(x)=2[/inlmath], a ako nije onda je [inlmath]f(x)=-1[/inlmath]. Kako [inlmath]2009[/inlmath] nije deljivo sa [inlmath]3[/inlmath] znači da je:
[dispmath]x^{2009}+x^{-2009}=-1[/dispmath]
Možda nekome pomogne.