MATEMANIJA

1. Resiti jednacinu
[dispmath]\left(\log_7 x\right)^2-\left(\log_7 11\right)\left(\log_{11}x\right)=2[/dispmath]
2. Ako je uredjen par [inlmath](A,B)[/inlmath] resenje sisteam [inlmath]x^2+xy+y^2=31,\;x^2-xy+y^2=21[/inlmath], i vazi [inlmath]A<B[/inlmath] u [inlmath]A,B<0[/inlmath], onda je:
[inlmath]1)\;2A+B=-7;\quad[/inlmath] [inlmath]2)\;A+2B=-7;\quad[/inlmath] [inlmath]3)\;3A+B=-7;\quad[/inlmath] [inlmath]4)\;A+3B=-7;\quad[/inlmath] [inlmath]5)\;A+B=-7[/inlmath]

3. Realan broj [inlmath]m[/inlmath] za koji je razlika resenja, [inlmath]x_1-x_2\;(x_1<x_2)[/inlmath] jednacine [inlmath]x^2+2mx+3m^2- 4m=0[/inlmath] minimalna, je?

U prvom zadatku primenim neke logaritamske teoreme ali opet se pogubim, u drugom mi nije jasno kako se rade ti sistemi pomocu [inlmath]A,B[/inlmath], a sto se tice treceg ne razumem pitanje zadataka da li se trazi minimalna vrednost [inlmath]m[/inlmath] ili sta..
Samo ako mozete pomoci da bude malo detaljnije jer mi stvarno nije jasan postupak.Hvala

[inlmath]2.[/inlmath][dispmath]\begin{array}{ll}
x^2+xy+y^2=31 \\
x^2-xy+y^2=21 \\
A<B,\quad A,B<0
\end{array}[/dispmath]Saberemo prvu i drugu jednačinu:[dispmath]2x^2+2y^2=52\quad /:2[/dispmath][dispmath]x^2+y^2=26\quad\left(1\right)[/dispmath]Zatim od prve jednačine oduzmemo drugu:[dispmath]2xy=10\quad /:2[/dispmath][dispmath]xy=5[/dispmath][dispmath]y=\frac{5}{x}\quad\left(2\right)[/dispmath]Sada [inlmath]\left(2\right)[/inlmath] uvrstimo u [inlmath]\left(1\right)[/inlmath]:[dispmath]x^2+\left(\frac{5}{x}\right)^2=26[/dispmath][dispmath]x^2+\frac{25}{x^2}=26\quad /\cdot x^2[/dispmath][dispmath]\left(x^2\right)^2-26x^2+25=0[/dispmath][dispmath]\left(x^2\right)_{1,2}=\frac{26\pm\sqrt{26^2-4\cdot 25}}{2}[/dispmath][dispmath]\left(x^2\right)_{1,2}=13\pm\sqrt{13^2-25}[/dispmath][dispmath]\left(x^2\right)_{1,2}=13\pm\sqrt{144}[/dispmath][dispmath]\left(x^2\right)_{1,2}=13\pm 12[/dispmath][dispmath]\left(x^2\right)_1=1,\quad\left(x^2\right)_2=25[/dispmath][dispmath]x_1=-1,\quad x_2=-5,\quad\cancel{x_3=1},\quad\cancel{x_4=5}[/dispmath]Poztivina rešenja odbacujemo, jer su, po uslovu zadatka, rešenja manja od nule [inlmath]\left(A,B<0\right)[/inlmath].
Drugo rešenje nalazimo pomoću [inlmath]\left(2\right)[/inlmath]: [inlmath]y=\frac{5}{x}[/inlmath]
[inlmath]x_1=-1\quad\Rightarrow\quad y_1=-5[/inlmath] Ovo rešenje odbacujemo zbog uslova zadatka da je prvo rešenje manje od drugog [inlmath]\left(A<B\right)[/inlmath].
[inlmath]x_2=-5\quad\Rightarrow\quad y_2=-1[/inlmath] Ovo rešenje usvajamo, jer zadovoljava uslov zadatka [inlmath]A<B[/inlmath].
Prema tome, traženi uređeni par je[dispmath]\left(A,B\right)=\left(-5,-1\right)[/dispmath]i vidimo da je od ponuđenih odgovora jedino onaj pod [inlmath]\left.2\right)[/inlmath] zadovoljen za dobijene vrednosti: [inlmath]A+2B=-5+2\cdot\left(-1\right)=-7[/inlmath]

Sada mi je jasnije, ja sam dosa do [inlmath]x^2+y^2=26[/inlmath], ali nisam znao da mogu oduzeti drugu jed od prve..
A sto se tice 1 i 3 zadatka mozes li mi pomoci?

Nemke94 je napisao:1. Resiti jednacinu
[dispmath]\left(\log_7 x\right)^2-\left(\log_7 11\right)\left(\log_{11}x\right)=2[/dispmath]

Uslov: [inlmath]x>0[/inlmath][dispmath]\left(\log_7 x\right)^2-\frac{1}{\log_{11}7}\cdot\log_{11}x=2[/dispmath][dispmath]\left(\log_7 x\right)^2-\frac{\log_{11}x}{\log_{11}7}=2[/dispmath][dispmath]\left(\log_7 x\right)^2-\log_7 x=2[/dispmath]Smena:
[inlmath]\log_7 x=t[/inlmath][dispmath]t^2-t=2[/dispmath][dispmath]t^2-t-2=0[/dispmath][dispmath]t_{1,2}=\frac{1\pm\sqrt{1+8}}{2}[/dispmath][dispmath]t_{1,2}=\frac{1\pm 3}{2}[/dispmath][dispmath]t_1=-1,\quad t_2=2[/dispmath][inlmath]\log_7 x=t\quad\Rightarrow\quad x=7^t[/inlmath][dispmath]x_1=7^{-1},\quad x_2=7^2[/dispmath][dispmath]x_1=\frac{1}{7},\quad x_2=49[/dispmath]Oba rešenja zadovoljavaju uslov [inlmath]x>0[/inlmath].

U trecem redu si se oslobodio logaritamske osnove [inlmath]11[/inlmath] i stavio si da je [inlmath]7[/inlmath], koje je to logaritamsko pravilo?
Treci zadatak mi se cini lak ali napravim gresku i zakucam nmg dobiti normalno resenje...

Nemke94 je napisao:U trecem redu si se oslobodio logaritamske osnove [inlmath]11[/inlmath] i stavio si da je [inlmath]7[/inlmath], koje je to logaritamsko pravilo?

To je pravilo[dispmath]\frac{\log_c a}{\log_c b}=\log_b a[/dispmath]
Zahvaljujući tom pravilu, možeš i na kalkulatoru koji ima samo funkciju "LOG" (logaritam za osnovu [inlmath]10[/inlmath]), ili "LN" (logaritam za osnovu [inlmath]e[/inlmath]), naći logaritam bilo kog broja za bilo koju osnovu, npr. [inlmath]\log_y x[/inlmath], tako što to predstaviš kao
[dispmath]\log_y x=\frac{\log_{10}x}{\log_{10}y}[/dispmath]ili kao[dispmath]\log_y x=\frac{\ln x}{\ln y}[/dispmath]

Nemke94 je napisao:A sto se tice 1 i 3 zadatka mozes li mi pomoci?

Bez brige, biće svi... Jedan po jedan.

Aha, ne verujem da nisam video to pravilo u svesci, nego ima dosta zadataka koje ne znam a mogao sam da ih uradim pre meseca dana, siguran sam u to... Nego sada me uhvatila trema pred prijemni i ne mogu se koncentrisati nikako...

[inlmath]3.[/inlmath]

Nemke94 je napisao:ne razumem pitanje zadataka da li se trazi minimalna vrednost [inlmath]m[/inlmath] ili sta..

Ne, traži se ona vrednost parametra [inlmath]m[/inlmath] za koju će [inlmath]x_1-x_2[/inlmath] biti najmanje moguće. Znači, za neku vrednost parametra [inlmath]m[/inlmath], [inlmath]x_1-x_2[/inlmath] će imati jednu vrednost, za neku drugu vrednost parametra [inlmath]m[/inlmath], [inlmath]x_1-x_2[/inlmath] će imati neku drugu vrednost, a ti treba da nađeš ono [inlmath]m[/inlmath] za koje će [inlmath]x_1-x_2[/inlmath] biti minimalno.
[dispmath]x^2+2mx +3m^2-4m=0[/dispmath]Diskriminanta ove jednačine:[dispmath]D=4m^2-4\left(3m^2-4m\right)[/dispmath][dispmath]D=-8m^2+16m\quad\left(1\right)[/dispmath]Uslov da postoje realna rešenja:[dispmath]D\ge 0[/dispmath][dispmath]-8m^2+16m\ge 0\quad /:8[/dispmath][dispmath]-m^2+2m\ge 0[/dispmath][dispmath]m\left(2-m\right)\ge 0[/dispmath][dispmath]\left(m\ge 0\quad\land\quad 2-m\ge 0\right)\quad\lor\quad\left(m\le 0\quad\land\quad 2-m\le 0\right)[/dispmath][dispmath]\left(m\ge 0\quad\land\quad m\le 2\right)\quad\lor\quad\cancelto{\bot}{\left(m\le 0\quad\land\quad m\ge 2\right)}[/dispmath][dispmath]\left(m\ge 0\quad\land\quad m\le 2\right)\quad\lor\quad\left(m\le 0\quad\land\quad m\ge 2\right)[/dispmath][dispmath]0\le m\le 2[/dispmath]Rešenja jednačine:[dispmath]x_1<x_2\quad\Rightarrow\quad x_1=\frac{-b-\sqrt D}{2a},\quad x_2=\frac{-b+\sqrt D}{2a}[/dispmath](Pošto je koeficijent uz kvadratni član pozitivan, kod manjeg rešenja smo pisali minus pred korenom, a kod većeg rešenja plus pred korenom; da je koeficijent uz kvadratni član negativan, bilo bi obrnuto!)

Razlika rešenja:[dispmath]x_1-x_2=\frac{\cancel{-b}-\sqrt D}{2a}-\frac{\cancel{-b}+\sqrt D}{2a}[/dispmath][dispmath]x_1-x_2=\frac{-\cancel 2\sqrt D}{\cancel 2a}[/dispmath][dispmath]x_1-x_2=\frac{-\sqrt D}{a}[/dispmath][inlmath]a=1[/inlmath], a diskriminantu imamo u izrazu [inlmath]\left(1\right)[/inlmath]:[dispmath]x_1-x_2=-\sqrt{-8m^2+16m}[/dispmath][dispmath]x_1-x_2=-2\sqrt{-2m^2+4m}[/dispmath][dispmath]x_1-x_2=-2\sqrt{2\left(-m^2+2m\right)}[/dispmath]Traži se vrednost [inlmath]m[/inlmath] za koju će [inlmath]x_1-x_2[/inlmath] biti minimalno. Kada je [inlmath]x_1-x_2[/inlmath] minimalno, tada je i [inlmath]-2\sqrt{2\left(-m^2+2m\right)}[/inlmath] minimalno, tj. [inlmath]\sqrt{2\left(-m^2+2m\right)}[/inlmath] je maksimalno, tj. [inlmath]2\left(-m^2+2m\right)[/inlmath] je maksimalno, tj. [inlmath]-m^2+2m[/inlmath] je maksimalno.
Znači, tražimo [inlmath]m[/inlmath] tako da je [inlmath]-m^2+2m[/inlmath] maksimalno.
Kod kvadratne funkcije [inlmath]-m^2+2m[/inlmath] koeficijent uz kvadratni član je negativan, pa će teme te kvadratne funkcije predstavljati maksimum, a to je upravo ono što tražimo.
[inlmath]m[/inlmath] možemo odrediti na osnovu formule za [inlmath]x[/inlmath]-koordinatu temena kvadratne funkcije:
[dispmath]x_T=-\frac{b}{2a}[/dispmath]pa je[dispmath]m=-\frac{2}{-2}[/dispmath][dispmath]m=1[/dispmath]