MATEMANIJA

Zadatak glasi: Izračunati vrednost izraza
[dispmath]\sqrt[3]{20+14\sqrt2}-\sqrt[3]{20-14\sqrt2}\tag{Resenje: 4}[/dispmath] Prvo se treba osloboditi kubnog korena, tj. potkoreni izraz transformisati u oblik [inlmath](a+b)^3[/inlmath](kub zbira). Potkoreni izraz, u zadacima ovakvog tipa sadrži uglavnom male brojeve tako da nagadjanjem možemo odrediti brojeve ciji zbir na kub daje potkorenu vrednost. To jest izraz
[dispmath]\sqrt[3]{20+14\sqrt2}-\sqrt[3]{20-14\sqrt2}[/dispmath] možemo transformisati u oblik
[dispmath]\sqrt[3]{\left(2+\sqrt2\right)^3}+\sqrt[3]{\left(2-\sqrt2\right)^3}[/dispmath] Sada trojke mozemo pokratiti bez postavljanja uslova jer vazi pravilo
[dispmath]\sqrt[n]{x^n}=n\hspace{5mm}n\to\text{neparan}[/dispmath][dispmath]\sqrt[n]{x^n}=|n|\hspace{5mm}n\to\text{paran}[/dispmath] Nakon skraćivanja trojki dobija se
[dispmath]2+\sqrt2+2-\sqrt2=4[/dispmath] Vec duže vreme razmišljam da li postoji neki drugi način da se potkoreni izraz transformiše u kub binoma, a da to nije nagadjanje. Kod kvadratnog korena mozemo primeniti Lagranžovu formulu ili postupkom koji je Daniel detaljno objasnio u jednom svom postu.
Ako neko zna neki drugi nacin rešavanja zadatka zamolio bih ga da taj nacin podeli sa nama forumašima. Zadatak se može i nagadjanjem rešiti ali zašto da ne naučimo i neki drugi način, ako uopšte postoji. Nagadjanje oduzima i vreme i trud, a i ne slaže se baš sa matematikom, tako da bi neki drugi nacin dobro došao (srecom, kao što sam već rekao, uglavnom su mali brojevi u zadacima ovog tipa).

U postavci zadatka treba da stoji [inlmath]+[/inlmath] između korena da bi rešenje bilo [inlmath]4[/inlmath].
Neko alternativno rešenje moglo bi da bude sledeće. Imamo [inlmath]\sqrt[3]{20+14\sqrt2}+\sqrt[3]{20-14\sqrt2}=a[/inlmath]. Obe strane podignemo na treći stepen. Dobija se (uz malo sređivanja):
[dispmath]40+6a=a^3\;\Longrightarrow\;a^3-6a-40=0[/dispmath] Onda ostaje da se reši ova jednačina (npr. logični prvi pokušaj bi bio teorema o racionalnim nulama, u opštijem slučaju može se primeniti metod iz ove teme).

Frank je napisao:Zadatak se može i nagadjanjem rešiti ali zašto da ne naučimo i neki drugi način, ako uopšte postoji. Nagadjanje oduzima i vreme i trud, a i ne slaže se baš sa matematikom,

S ovakvim razmišljanjem se apsolutno slažem.

Ako je potrebno baš potkorene veličine predstaviti kao kubove zbira/razlike, to možemo učiniti na sledeći način. Postupkom koji je Corba248 pokazao^* nađemo takođe vrednost izraza [inlmath]\sqrt[3]{20+14\sqrt2}-\sqrt[3]{20-14\sqrt2}[/inlmath] (dobije se da je jednak [inlmath]2\sqrt2[/inlmath]) i onda imamo dve jednačine:
[dispmath]\sqrt[3]{20+14\sqrt2}+\sqrt[3]{20-14\sqrt2}=4\tag1[/dispmath][dispmath]\sqrt[3]{20+14\sqrt2}-\sqrt[3]{20-14\sqrt2}=2\sqrt2\tag2[/dispmath] Sabiranjem [inlmath](1)[/inlmath] i [inlmath](2)[/inlmath] dobijamo da je [inlmath]\sqrt[3]{20+14\sqrt2}=2+\sqrt2[/inlmath] (tj. da je [inlmath]20+14\sqrt2=\left(2+\sqrt2\right)^3[/inlmath]), a oduzimanjem [inlmath](2)[/inlmath] od [inlmath](1)[/inlmath] dobijamo da je [inlmath]\sqrt[3]{20-14\sqrt2}=2-\sqrt2[/inlmath] (tj. da je [inlmath]20-14\sqrt2=\left(2-\sqrt2\right)^3[/inlmath]).

---

^* Prilikom računanja [inlmath]\sqrt[3]{20+14\sqrt2}-\sqrt[3]{20-14\sqrt2}[/inlmath] dobićemo kubnu jednačinu [inlmath]a^3+6a-28\sqrt2=0[/inlmath], u kojoj možemo pretpostaviti da je [inlmath]a[/inlmath] celobrojni umnožak korena iz dva, te uvesti smenu [inlmath]a=t\sqrt2[/inlmath], a zatim obe strane podeliti sa [inlmath]\sqrt2[/inlmath].

U medjuvremenu naidjoh na detaljan postupak rešavanja identičnog zadatka prikazanog u ovoj temi.