MATEMANIJA

Pozdrav moze li pomoc oko ovog zadatka
Rešiti nejednacinu:
[dispmath]2x+\sqrt{a^2-x^2}>0[/dispmath] Pa ja sam za pocetak uveo uslov da je [inlmath]|a|>|x|[/inlmath]
Potom prebacio [inlmath]2x[/inlmath] na drugu stranu te dobio [inlmath]\sqrt{a^2-x^2}>-2x[/inlmath]
ok za [inlmath]x>0[/inlmath]
ovo ce uvek biti tacno to vidim i sad valjda gledam [inlmath]|a|>x[/inlmath] ali sta time dobijam [inlmath]a>x[/inlmath] i [inlmath]a<-x[/inlmath]
Dalje nista ne znam cak ne znam ni kako ovo do sad da iskoristim.

Mile2003 je napisao:Pa ja sam za pocetak uveo uslov da je [inlmath]|a|>|x|[/inlmath]

Zapravo, [inlmath]|a|\ge|x|[/inlmath], jer potkorena veličina sme biti i nula.

Mile2003 je napisao:Potom prebacio [inlmath]2x[/inlmath] na drugu stranu te dobio [inlmath]\sqrt{a^2-x^2}>-2x[/inlmath]
ok za [inlmath]x>0[/inlmath]
ovo ce uvek biti tacno to vidim i sad valjda gledam [inlmath]|a|>x[/inlmath] ali sta time dobijam [inlmath]a>x[/inlmath] i [inlmath]a<-x[/inlmath]

Ne treba da rešavaš po [inlmath]a[/inlmath], već rešavaš po nepoznatoj [inlmath]x[/inlmath] a zatim ćeš ta rešenja po [inlmath]x[/inlmath] diskutovati u zavisnosti od parametra [inlmath]a[/inlmath].
Iapravno si zaključio da je za [inlmath]x>0[/inlmath] leva strana nenegativna a desna negativna, te je nejednačina uvek zadovoljena kada je zadovoljen uslov definisanosti.
Pošto je uslov definisanosti [inlmath]|x|\le|a|[/inlmath], a uslov ovog slučaja [inlmath]x>0[/inlmath], tražimo njihov presek i to će biti [inlmath]0<x\le|a|[/inlmath] (umesto [inlmath]|x|[/inlmath] smo pisali [inlmath]x[/inlmath] jer razmatramo slučaj [inlmath]x>0[/inlmath], tj. [inlmath]|x|=x[/inlmath]).

Za bilo koje nenultno [inlmath]a[/inlmath] ovaj slučaj će imati rešenja po [inlmath]x[/inlmath], dok će za [inlmath]a=0[/inlmath] rešenje ovog slučaja biti prazan skup (jer se tada [inlmath]0<x\le|a|[/inlmath] svodi na [inlmath]0<x\le0[/inlmath], koje ne ispunjava nijedno realno [inlmath]x[/inlmath]).

Da li bi sad imao ideju za slučaj [inlmath]x\le0[/inlmath]?

Evo ako je dobro za [inlmath]x<0[/inlmath]
[inlmath]\sqrt{a^2-x^2}>-2x[/inlmath]
Kad se kvadrira imamo [inlmath]5x^2<a^2[/inlmath]
Odnosno [inlmath]x>\frac{|a|}{\sqrt5}[/inlmath]
I onaj uslov sa pocetka [inlmath]|x|<|a|[/inlmath] odnosno kako je [inlmath]x<0[/inlmath] spajajuci ta dva uslova imamo [inlmath]x>|a|[/inlmath] i [inlmath]x<0[/inlmath]
sledi da [inlmath]x[/inlmath] nema resenje, kad je manje od nula je l tacno?

I za [inlmath]x=0[/inlmath] imamo [inlmath]\sqrt{|a|}>0[/inlmath] odnosno [inlmath]|a|>0[/inlmath] to je za svako [inlmath]a[/inlmath] sem [inlmath]0[/inlmath]

Mile2003 je napisao:Kad se kvadrira imamo [inlmath]5x^2<a^2[/inlmath]
Odnosno [inlmath]x>\frac{|a|}{\sqrt5}[/inlmath]

Ne sledi [inlmath]x>\frac{|a|}{\sqrt5}[/inlmath]. Idemo postupno:
[dispmath]5x^2<a^2\;\Longrightarrow\;x^2<\frac{a^2}{5}\;\Longrightarrow\;\sqrt{x^2}<\frac{\sqrt{a^2}}{\sqrt5}\;\Longrightarrow\;|x|<\frac{|a|}{\sqrt5}\;\Longrightarrow\;-\frac{|a|}{\sqrt5}<x<\frac{|a|}{\sqrt5}[/dispmath]

Mile2003 je napisao:I onaj uslov sa pocetka [inlmath]|x|<|a|[/inlmath] odnosno kako je [inlmath]x<0[/inlmath] spajajuci ta dva uslova imamo [inlmath]x>|a|[/inlmath] i [inlmath]x<0[/inlmath]

Ovde se odmah vidi da je nešto pogrešno, jer polazeći od [inlmath]x<0[/inlmath] (tj. da je [inlmath]x[/inlmath] negativno) došao si do [inlmath]x>|a|[/inlmath] (tj. da je [inlmath]x[/inlmath] pozitivno).

Pošto je ovo slučaj [inlmath]x<0[/inlmath], tada će biti [inlmath]|x|=-x[/inlmath], pa uslov definisanosti [inlmath]|x|\le|a|[/inlmath] postaje [inlmath]-x\le|a|[/inlmath], pa kad [inlmath]x[/inlmath] pređe na desnu a [inlmath]a[/inlmath] na levu stranu imamo [inlmath]-|a|\le x[/inlmath], tj. [inlmath]x\ge-|a|[/inlmath]. U preseku s uslovom ovog slučaja, [inlmath]x<0[/inlmath], imaćemo [inlmath]-|a|\le x<0[/inlmath]. I sad nađeš presek tog skupa i skupa rešenja koje je dobijeno za ovaj slučaj.
(Obrati pažnju da uslov definisanosti glasi [inlmath]|x|\le|a|[/inlmath] a ne [inlmath]|x|<|a|[/inlmath].)

Mile2003 je napisao:I za [inlmath]x=0[/inlmath] imamo [inlmath]\sqrt{|a|}>0[/inlmath] odnosno [inlmath]|a|>0[/inlmath] to je za svako [inlmath]a[/inlmath] sem [inlmath]0[/inlmath]

Da, [inlmath]|a|>0[/inlmath]. Ali, ne dobija se [inlmath]\sqrt{|a|}[/inlmath], već se dobije [inlmath]\sqrt{a^2}[/inlmath], a to je onda po definiciji jednako [inlmath]|a|[/inlmath].
Tačno, [inlmath]|a|>0[/inlmath] važi za svako nenulto [inlmath]a[/inlmath].

Slučaj [inlmath]x=0[/inlmath] mogao si i objediniti sa slučajem [inlmath]x<0[/inlmath] i raditi kao [inlmath]x\le0[/inlmath], time bi postigao na brzini. Ali može i ovako, ako ti je tako lakše ili sigurnije.

Hvala, da sigurnije mi je da razdvojim na [inlmath]x<0[/inlmath] i [inlmath]x=0[/inlmath]

Za konačno rešenje treba da se dobije
[dispmath]x\in\begin{cases}
\left(-\frac{|a|\sqrt5}{5},|a|\right], & a\ne0\\
\emptyset, & a=0
\end{cases}[/dispmath]