MATEMANIJA

Neka su [inlmath]x_1[/inlmath] i [inlmath]x_2[/inlmath] resenja jednacine: [inlmath]x^2+3x+m=0[/inlmath].
Vrednost realnog parametra [inlmath]m[/inlmath], za koju izraz [inlmath]x_1^3x_2+x_2^3x_1[/inlmath] dostize maksimalnu vrednost pripada intervalu:

[inlmath][0,1),\;[4,5),\;[3,4),\;[2,3),\;[1,2)[/inlmath]

Primenimo Vietova pravila:
[dispmath]x_1+x_2=-\frac{b}{a}=-3[/dispmath][dispmath]x_1x_2=\frac{c}{a}=m[/dispmath][dispmath]x_1^3x_2+x_2^3x_1=x_1x_2\left(x_1^2+x_2^2\right)=x_1x_2\left[\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2\right]=[/dispmath][dispmath]=m\left[\left(-3\right)^2-2m\right]=m\left(9-2m\right)=-2m^2+9m[/dispmath]
Znači, tražimo vrednost parametra [inlmath]m[/inlmath] za koji će izraz [inlmath]-2m^2+9m[/inlmath] biti maksimalan. Pošto je [inlmath]-2m^2+9m[/inlmath] kvadratna funkcija po [inlmath]m[/inlmath], a koeficijent uz kvadratni član je negativan, teme te kvadratne funkcije će predstavljati maksimum, što i tražimo. Primenimo formulu za [inlmath]x[/inlmath]-koordinatu temena, [inlmath]x_T=-\frac{b}{2a}[/inlmath]:
[dispmath]m=-\frac{9}{-4}[/dispmath][dispmath]m=\frac{9}{4}[/dispmath]