MATEMANIJA

Zadatak glasi: Resiti jednacinu
[dispmath]\sqrt{\log_x\sqrt{3x}}\cdot\log_3x=-1[/dispmath] Ja sam radio na sledeci nacin:
- Prvo sam postavio uslove definisanosti logaritma
[dispmath]x>0\hspace{3mm}\land\hspace{3mm}x\ne1\hspace{3mm}\land\hspace{3mm}\sqrt{3x}>0[/dispmath] - Da bi resenja bila u skupu realnih brojeva neophodno je postaviti dodatni uslov
[dispmath]\log_x\sqrt{3x}\ge0[/dispmath] - Sad se vracam na resavanje jednacine
[dispmath]\sqrt{\log_x\sqrt{3x}}=-\frac{1}{\log_3x};\hspace{5.5mm}\log_3x\ne0[/dispmath][dispmath]\sqrt{\log_x\sqrt{3x}}=-\log_3x[/dispmath] Sad analiziram znak leve i desne stane:
[inlmath]\log_3x[/inlmath] je strogo vece od nule, a minus ispred mu menja znak sto znaci da ce desna strana uvek biti negativna.
Leva strana se nalazi pod kvadratnim korenom sto znaci da ce njena vrednost biti [inlmath]\ge0[/inlmath].
Leva i desna strana su razlicitog znaka sto znaci da jednacina nema resenja. Medjutim u resenjima pise da je [inlmath]x=\frac{1}{9}[/inlmath], pa me zanima da li je greska kod mene ili mozda ipak resenje u zbirci nije tacno.

Tačno je u zbirci a ti si pogrešio. Na zadnjoj jednačini koju si napisao si napravio grešku. Na desnoj strani jednačine treba da piše [inlmath]-\log_x3[/inlmath], a ne [inlmath]-\log_3x[/inlmath] kako si ti napisao. Treba posle samo da uvedeš smenu da je [inlmath]\log_x3=t[/inlmath] (s tim da je [inlmath]t<0[/inlmath]) i posle ćeš brzo doći do rešenja da je [inlmath]x=\frac{1}{9}[/inlmath]

Frank je napisao:[inlmath]\log_3x[/inlmath] je strogo vece od nule,

Na osnovu čega si ovo zaključio?

Ja sam zapravo na papiru radio pravilno (na desnoj strani pise [inlmath]-\log_x3[/inlmath], a ne [inlmath]-\log_3x,[/inlmath] ono na sta je rade sugerisao), ali nisam lepo napisao u postu.
Sad, neka je [inlmath]\log_x3=k\iff x^k=3[/inlmath]. Kako je [inlmath]x>0[/inlmath] i [inlmath]x\ne1[/inlmath] sledi da [inlmath]k[/inlmath] mora biti vece od [inlmath]0[/inlmath] u suprotnom na levoj strani bi imali reciprocnu vrednost broja [inlmath]x[/inlmath] sto je manje od [inlmath]1[/inlmath], a samim tim i od [inlmath]3[/inlmath].
Dok sam pisao ovaj post shvatio sam da je ovaj moj zakljucak tacan samo u slucaju kad je [inlmath]x>1[/inlmath], dok za slucaj [inlmath]0<x<1[/inlmath] ovo ne vazi.