Stranica 1 od 1

Logaritamska jednacina

PostPoslato: Ponedeljak, 01. Jul 2013, 22:46
od shimi
Ako je [inlmath]a[/inlmath] zbir svih resenja jednacine, onda je vrednost [inlmath]2^{a+3}[/inlmath]?
[dispmath]1+\log_2\left(2^x-1\right)=\log_{2^x-1}\left(64\right)[/dispmath]

Re: Logaritamska jednacina

PostPoslato: Ponedeljak, 01. Jul 2013, 23:20
od _Mita
shimi je napisao:[dispmath]a=1+\log_2\left(2^x-1\right)=\log_{2^x-1}\left(64\right)[/dispmath]

Je l' [inlmath]a[/inlmath] zbir resenja ili kako? :D
[dispmath]1+\log_2\left(2^x-1\right)=\log_{2^x-1}\left(64\right)[/dispmath]
Ovo je jednacina?

Re: Logaritamska jednacina

PostPoslato: Ponedeljak, 01. Jul 2013, 23:28
od shimi
Hvala sto si me ispravio nije mi trebalo ono [inlmath]a=[/inlmath]... Sad je ok :D

Re: Logaritamska jednacina

PostPoslato: Ponedeljak, 01. Jul 2013, 23:56
od _Mita
Onda bi trebalo ovako:
[dispmath]2^x-1>0\qquad 2^x-1\ne 1[/dispmath]
Numerus(osnova) veci od nule i osnova razlicita od jedinice.

[dispmath]2^x>1\qquad 2^x\ne 2[/dispmath]
[dispmath]x>0\qquad x\ne 1[/dispmath]
To bi bili uslovi.

[dispmath]1+\log_2\left(2^x+1\right)=\log_{2^x-1}2^6[/dispmath]
[dispmath]1+\log_2\left(2^x-1\right)=6\cdot\log_{2^x-1}2[/dispmath]
[dispmath]1+\log_2\left(2^x-1\right)=6\cdot\log_\frac{1}{log_22^x-1}[/dispmath]
Smena: [inlmath]t=\log_2\left(2^x-1\right)[/inlmath] i odmah celu jednacinu mnozimo sa [inlmath]t[/inlmath]

[dispmath]t^2+t-6=0[/dispmath]
Resenja ove kvadratne jednacine su:
[dispmath]t_1=2\qquad t_2=-3[/dispmath]
[inlmath]1)[/inlmath]
[dispmath]\log_2\left(2^x-1\right)=2[/dispmath]
[dispmath]2^x-1=4[/dispmath]
[dispmath]2^x=5[/dispmath]
[dispmath]x_1=\log_25[/dispmath]
[inlmath]2)[/inlmath]
[dispmath]\log_2\left(2^x-1\right)=-3[/dispmath]
[dispmath]2^x-1={1\over 8}[/dispmath]
[dispmath]2^x={9\over 8}[/dispmath]
[dispmath]x=\log_2{9\over 8}=\log_29-\log_22^3=\log_29-3[/dispmath]
[dispmath]x_2=2\log_23-3[/dispmath]
Oba resenja zadovoljavaju uslove koje smo postavili.

Dakle [inlmath]x_1+x_2=\log_25+\log_29-3=\log_245-3[/inlmath]
[dispmath]a=\log_245-3[/dispmath]
[dispmath]2^{a+3}=2^{\log_245\cancel{-3}\cancel{+3}}=45[/dispmath]
Valjda nisam nigde omanuo :)