MATEMANIJA

Treba resiti sledeci sistem:
[dispmath](p-1)^2+(q-2)^2=r^2+7[/dispmath][dispmath](p-3)^2+q^2=r^2+5[/dispmath][dispmath](p+4)^2+(q+1)^2=r^2[/dispmath] Ja sam uradio sistem tako sto sam prvo malo sredio sve tri jednacine (primenio kvadrat binoma), pa sam potom iz druge jedacine izrazio koliko iznosi [inlmath]p^2+q^2[/inlmath] i ubacio u prvu odnosno trecu jednacinu. Pokrate se kvadratni clanovi i ostane samo sistem od dve jednacine sa dve nepoznate, sto se da lako resiti. Dobio sam [inlmath]p=-\frac{1}{16}[/inlmath], [inlmath]q=-\frac{25}{26}[/inlmath], [inlmath]r=\sqrt{\frac{1756}{256}}[/inlmath], kao i u resenjima.
Interesuje me da li postoji neki malo elegantniji nacin jer mi ovaj deluje nekako, sto bi rekli, "s'brda s'dola".

Postupak ti je dobar, mada si mogao i da na leve strane sve tri jednačine prebaciš [inlmath]p^2+q^2-r^2[/inlmath], a zatim desne strane izjednačiš. U principu dođe na isto. Ali, rešenja ti nisu dobra.

Da li u trećoj jednačini,

Frank je napisao:[dispmath]({\color{red}q}+4)^2+(q+1)^2=r^2[/dispmath]

umesto [inlmath]q[/inlmath] treba da stoji [inlmath]p[/inlmath]? Kako god, ni u jednom od ta dva slučaja ne dobiju se rešenja koja si napisao.

Da li je ovo zadatak sâm po sebi, ili je deo nekog zadatka?

Daniel je napisao:umesto [inlmath]q[/inlmath] treba da stoji [inlmath]p[/inlmath]?

Da, moja greska. Treca jednacina treba da glasi
[dispmath](p+4)^2+(q+1)^2=r^2+9[/dispmath] Ovo je deo zadatka iz analiticke al nisam hteo da ga tamo postavljam, da opet ne idem daleko od teme, kao u nekom od mojih prethodnih postova.
Kad smo kod izjednacavanja desnih strana 3 jednacine da pitam nesto. Na primer, da sam na levoj ostavio [inlmath]r^2[/inlmath] kako onda da izjednacim desne strane sve tri jednacine, to mi nije jasno? Ako izjednacim prvo desne strane prve i druge jednacine trebalo bi da dobijem neku vezu izmedju [inlmath]p[/inlmath] i [inlmath]q[/inlmath]? Potom to ubacim u trecu jednacinu. Nisam nikad radio na ovaj nacin pa mi nije bas najjasniji.

Frank je napisao:Ovo je deo zadatka iz analiticke al nisam hteo da ga tamo postavljam, da opet ne idem daleko od teme, kao u nekom od mojih prethodnih postova.

Dobro, zar se nismo dogovorili da uvek treba postaviti tekst osnovnog zadatka? Ako bismo znali kako glasi ceo zadatak, možda bismo ti mogli predložiti neki način koji ne bi doveo do ovog sistema jednačina (a možda i ne, ne mogu znati ovako napamet).

Frank je napisao:Kad smo kod izjednacavanja desnih strana 3 jednacine da pitam nesto. Na primer, da sam na levoj ostavio [inlmath]r^2[/inlmath] kako onda da izjednacim desne strane sve tri jednacine, to mi nije jasno? Ako izjednacim prvo desne strane prve i druge jednacine trebalo bi da dobijem neku vezu izmedju [inlmath]p[/inlmath] i [inlmath]q[/inlmath]? Potom to ubacim u trecu jednacinu. Nisam nikad radio na ovaj nacin pa mi nije bas najjasniji.

Znači, sistem svedeš na
[dispmath]\begin{array}{l}
p^2+q^2-r^2=2p+4q+2\\
p^2+q^2-r^2=6p-4\\
p^2+q^2-r^2=-8p-2q-17
\end{array}[/dispmath] Pošto su leve strane jednake, moraju biti i desne, pa njih izjednačavamo. Izjednačimo npr. prvu i drugu, dobijemo [inlmath]4p-4q=6[/inlmath], iliti [inlmath]2p-2q=3[/inlmath]. Izjednačimo zatim drugu i treću, dobijemo [inlmath]14p+2q=-13[/inlmath] (nema potrebe izjednačavati još i prvu i treću, jer bi to bilo suvišno (time bismo dobili [inlmath]10p+6q=-19[/inlmath], koja ionako direktno sledi oduzimanjem prethodno dobijene dve). Dakle, imamo linearan sistem od dve jednačine s dve nepoznate, [inlmath]p[/inlmath] i [inlmath]q[/inlmath], i on se lako reši. Nakon toga se još nađe i [inlmath]r[/inlmath], uvrštavanjem dobijenih vrednosti [inlmath]p[/inlmath] i [inlmath]q[/inlmath] u neku od početnih jednačina..

Daniel je napisao:Dobro, zar se nismo dogovorili da uvek treba postaviti tekst osnovnog zadatka?

Evo zadatka. Nisam imao nista da pitam u vezi analiticke vec u vezi sistema, pa zato sam postavio post kao poseban zadatak, da ne odem od teme.

Da, onda je postupak u redu. Sad tek vidim da si kao ispravku za treću jednačinu dodao i ono [inlmath]+9[/inlmath] na desnoj strani. S tom korekcijom, zaista se dobiju ta rešenja koja si napisao (a i koja su navedena u zbirci).