MATEMANIJA

Probni prijemni ispit MATF - 16. jun 2018.
9. zadatak

Zadatak ide ovako: Broj realnih rešenja jednačine [inlmath]\left|\log_5x\right|=\left|x-5\right|[/inlmath] je:
Rešenje je: [inlmath]3[/inlmath]
Prvo stavimo uslove za apsolutne vrednosti:
[dispmath]\left|\log_5x\right|=\begin{cases}
\log_5x, & x\geq1\\
\log_5x, & x<1
\end{cases}[/dispmath][dispmath]\left|x-5\right|=\begin{cases}
x-5, & x\geq5\\
x-5, & x<5
\end{cases}[/dispmath] Sada kada napravimo tabelu dobijamo da je prvi interval između [inlmath](-\infty,1)[/inlmath] za [inlmath]-\log_5x=-x+5[/inlmath]

Kako rešiti to?
Pretpostavljam da je ovo jedan od onih slučajeva kada mora grafički?

miljan1403 je napisao:[dispmath]\left|\log_5x\right|=\begin{cases}
\log_5x, & x\geq1\\
\log_5x, & x<1
\end{cases}[/dispmath][dispmath]\left|x-5\right|=\begin{cases}
x-5, & x\geq5\\
x-5, & x<5
\end{cases}[/dispmath]

Zaboravio si minuse, treba
[dispmath]|\log_5x|=\begin{cases}
\log_5x, & x\ge1\\
{\color{red}-}\log_5x, & x<1
\end{cases}[/dispmath][dispmath]|x-5|=\begin{cases}
x-5, & x\ge5\\
{\color{red}-}(x-5), & x<5
\end{cases}[/dispmath]

miljan1403 je napisao:Sada kada napravimo tabelu dobijamo da je prvi interval između [inlmath](-\infty,1)[/inlmath] za [inlmath]-\log_5x=-x+5[/inlmath]

Interval nikako ne može biti [inlmath](-\infty,1)[/inlmath] jer za nepozitivne vrednosti logaritam nije definisan. Zaboravio si uslov [inlmath]x>0[/inlmath].

miljan1403 je napisao:Pretpostavljam da je ovo jedan od onih slučajeva kada mora grafički?

Tako je, mora grafički. Čim vidiš ovakvu transcendentnu jednačinu, pa još i da se u tekstu zadatka traži broj rešenja (a ne sama rešenja), to sve upućuje na grafičko rešavanje.

Uspeo sam da uradim
Ubacimo u logaritam jednostavne vrednosti koje se mogu izračunati kao što su [inlmath]\frac{1}{25},\frac{1}{5},1,5,25[/inlmath] i nacrtamo funkciju, takođe tako i sa drugom funkcijom, samo pazite na opseg intervala

Hvala ti puno

Nema na čemu, ali

miljan1403 je napisao:Ubacimo u logaritam jednostavne vrednosti koje se mogu izračunati kao što su [inlmath]\frac{1}{25},\frac{1}{5},1,5,25[/inlmath] i nacrtamo funkciju,

Nema potrebe za ovime. Gubljenje vremena, veoma dragocenog na prijemnom. Znamo (ili bi bar trebalo da znamo) kako izgleda oblik logaritamske funkcije, i samo ga skiciramo.
(Ukoliko neko ima problem s pamćenjem oblika logaritamske funkcije, dobar bi mu podsetnik bio to da je njen grafik simetričan grafiku funkcije [inlmath]e^x[/inlmath] u odnosu na dijagonalu [inlmath]y=x[/inlmath]).