MATEMANIJA

Probni prijemni ispit MATF – 10. jun 2017.
7. zadatak

Zadatak ide ovako: Broj celobrojnih rešenja nejednačine [inlmath]\sqrt{9x^2-6x+1}-\left|4x+3\right|\geq0[/inlmath] je:
Kada postavimo uslov za koren dobijamo da je za [inlmath]\forall x\in\mathbb{R}[/inlmath], i onda postavljamo uslov za apsolutnu zagradu:
[dispmath]\left|4x+3\right|=\begin{cases}
4x+3, & x\geq-\frac{3}{4}\\
-4x-3, & x<-\frac{3}{4}
\end{cases}[/dispmath] To mi je sve poprilično jasno, ali onda koje uslove moram da postavim za iracionalnu jednačinu? Uzmimo prvi interval [inlmath]x\in\left(\infty,-\frac{3}{4}\right)[/inlmath]:
[inlmath]I:[/inlmath] [inlmath]\sqrt{9x^2-6x+1}\geq-4x-3[/inlmath], i uslovi za ovu jednačinu će biti:
[dispmath]\left[9x^2-6x+1\geq0\;\land\;-4x-3<0\right]\;\lor\;\left[9x^2-6x+1\geq\left(4x+3\right)^2\;\land\;-4x-3\geq0\right][/dispmath] Zar ne?

Ja bih apsolutnu zagradu prebacio na desnu stranu. Sad, posto si siguran da su obe strane nenegativne, mozes jednostavno, bez postavljanja bilo kakvih uslova ili okretanja znaka, kvadrirati nejednacinu. Ako primetis da je [inlmath]\left|4x+3\right|^2=(4x+3)^2[/inlmath], zadatak se resava u tri reda.
Posto je koren definisan za svako [inlmath]x[/inlmath], on nema uticaja na konacno resenje.
Kad kvadriras celu nejednacinu i malo sredis, dobijas kvadratnu nejednacinu cija su resenja u intervalu [inlmath]\left[-4,-\frac {2}{7}\right][/inlmath], pa je ukupan broj celobrojnih resenja jednak [inlmath]4[/inlmath].

Vidim kako to radi u ovom slučaju Ali šta radimo generalno kada imamo iracionalnu jednačinu sa [inlmath]\geq[/inlmath], jer nas (mene barem) nikada nisu učili za [inlmath]\leq[/inlmath] i [inlmath]\geq[/inlmath].

Hvala ti

Sve potpuno isto kao i kad imamo [inlmath]>[/inlmath] ili [inlmath]<[/inlmath], samo sto sad ukljucujemo granice intervala.
Da je u postavci zadatka iz ove teme pisalo [inlmath]>[/inlmath], onda [inlmath]4[/inlmath] ne bi predstavljala jedno od resenja nejednacine.
Uzmi i uvrsti [inlmath]4[/inlmath] u pocetni oblik nejednacine kada pise [inlmath]\ge[/inlmath], a uvrsti kada pise samo [inlmath]>[/inlmath]. Kad to isprobas sam ces doci do zakljucka. U prvom slučaju nejednacina ce biti zadovoljena, a u drugom nece.

Hvala ti na objašnjenju

miljan1403 je napisao:i uslovi za ovu jednačinu će biti:
[dispmath]\left[9x^2-6x+1\geq0\;\land\;-4x-3<0\right]\;\lor\;\left[9x^2-6x+1\geq\left(4x+3\right)^2\;\land\;-4x-3\geq0\right][/dispmath] Zar ne?

Hteo si reći, uslovi za nejednačinu.
Nisam baš razumeo kako si došao do ovih uslova, ali možeš primetiti da uslovi koje si postavio jesu sledećeg oblika:
[dispmath](p\;\land\;q)\;\lor\;(p\;\land\;\lnot q)[/dispmath] gde je iskaz [inlmath]9x^2-6x+1\geq0[/inlmath] označen sa [inlmath]p[/inlmath], a iskaz [inlmath]-4x-3<0[/inlmath] označen sa [inlmath]q[/inlmath].
Sada, ako bi primenio distributivnost konjunkcije u odnosu na disjunkciju (objašnjeno ovde),
[dispmath]p\;\land\;(q\;\lor\;\lnot q)[/dispmath] a pošto je [inlmath]q\;\lor\;\lnot q[/inlmath] tačan iskaz, to možemo pisati kao
[dispmath]p\;\land\;\top[/dispmath] a to je isto što i [inlmath]p[/inlmath] (a za [inlmath]p[/inlmath] smo videli da je tačno za svako [inlmath]x\in\mathbb{R}[/inlmath]).

---

Frank ti je napisao kako se ovaj konkretan zadatak najlakše radi, ali za neki opštiji slučaj, ako bismo imali [inlmath]\sqrt{f(x)}\ge g(x)[/inlmath], prvo i osnovno je da mora biti [inlmath]f(x)\ge0[/inlmath] (kako bi nejednačina uopšte bila definisana). Zatim uočavamo da će, uz prethodni uslov, nejednačina biti ispunjena kad god je [inlmath]g(x)\le0[/inlmath] (jer će tada leva strana, koja je nenegativna, sigurno biti veća ili jednaka od desne strane). Tek ako je [inlmath]g(x)>0[/inlmath], e tada kvadriramo obe strane kako bismo za taj slučaj rešili nejednačinu. Dakle, nejednačina će biti zadovoljena onda kada važi:
[dispmath]f(x)\ge0\;\land\;\left(g(x)\le0\;\lor\;f(x)\ge g^2(x)\right)[/dispmath]

Što se tiče uslova koji sam postavio. Njega sam postao jer je to po teoriji uslov koji se postavlja kada se radi iracionalna nejednačina sa [inlmath]>[/inlmath], ali sada dok pišem ovo shvatam da nisam samo tako jednostavno mogao da primenim tu formulu a da [inlmath]>[/inlmath] samo napišem kao [inlmath]\geq[/inlmath].

Daniel je napisao:Zatim uočavamo da će, uz prethodni uslov, nejednačina biti ispunjena kad god je [inlmath]g(x)\le0[/inlmath] (jer će tada leva strana, koja je nenegativna, sigurno biti veća ili jednaka od desne strane). Tek ako je [inlmath]g(x)>0[/inlmath], e tada kvadriramo obe strane kako bismo za taj slučaj rešili nejednačinu. Dakle, nejednačina će biti zadovoljena onda kada važi:

Nisam siguran da razumem šta želiš da kažeš. Možeš li da mi bolje objasniš šta znači "nenegativno"?
Pokušavam da napišem šta mi tačno nije jasno, ali ne uspevam.

miljan1403 je napisao:Možeš li da mi bolje objasniš šta znači "nenegativno"?

Nenegativno je – ono što nije negativno, logično. A ono što nije negativno, to je ili pozitivno, ili je nula.
Može se i ovako reći: kada je [inlmath]x\ge0[/inlmath] tada je [inlmath]x[/inlmath] nenegativno, a kada je [inlmath]x>0[/inlmath] tada je [inlmath]x[/inlmath] pozitivno.
Dakle, razlika između nenegativnog i pozitivnog je u tome što nenegativno sadrži i nulu, dok pozitivno ne sadrži nulu.
Nadam se da je sad jasnije.

Mislim da mi je sada jasnije, i razumem šta želiš da mi kažeš. Ako budem imao još neke nedoumice, pisaću.