MATEMANIJA

Da li je ispravno reci da je [inlmath]\left(\sqrt{-8}\right)^2=-8[/inlmath]? Ovde moramo izaci is polja realnih brojeva pa mi nije jasno da li je dozvoljeno.
Osobina [inlmath]\left(\sqrt{m}\right)^n=\sqrt{m^n}[/inlmath] vazi pod uslovom da je [inlmath]m[/inlmath] nenegativno?
Ako imamo dva korena oblika [inlmath]\sqrt{m}[/inlmath] i [inlmath]\sqrt{n}[/inlmath] njih mozemo staviti pod jedan ako su i [inlmath]m[/inlmath] i [inlmath]n[/inlmath] nenegativni? Analogno i ako [inlmath]\sqrt{m\cdot n}[/inlmath] zapisemo kao [inlmath]\sqrt{m}\cdot\sqrt{n}[/inlmath]?

Frank je napisao:Da li je ispravno reci da je [inlmath]\left(\sqrt{-8}\right)^2=-8[/inlmath]? Ovde moramo izaci is polja realnih brojeva pa mi nije jasno da li je dozvoljeno.

Na ovo pitanje si sâm odgovorio. Dakle, ako jednakost posmatramo u realnom domenu, tada ona nije tačna (jer [inlmath]\sqrt{-8}[/inlmath] nije definisano pa samim tim nije definisana leva strana, dok desna jeste). A ako jednakost posmatramo u kompleksnom domenu, tada ona jeste tačna: [inlmath]\sqrt{-8}[/inlmath] daje kao rezultat dve vrednsoti, [inlmath]i8[/inlmath] i [inlmath]-i8[/inlmath], a bilo koja od njih kad se ponovo kvadrira daje [inlmath]-8[/inlmath].
(Za razliku od kvadratnog korenovanja u realnom domenu, koje po definiciji uvek daje jednu, i to nenegativnu vrednost, kvadratno korenovanje u kompleksnom domenu uvek daje dve vrednosti (osim kad korenujemo nulu), i za te dve vrednosti važi [inlmath]z_1=-z_2[/inlmath].)

Frank je napisao:Osobina [inlmath]\left(\sqrt{m}\right)^n=\sqrt{m^n}[/inlmath] vazi pod uslovom da je [inlmath]m[/inlmath] nenegativno?

Frank je napisao:Ako imamo dva korena oblika [inlmath]\sqrt{m}[/inlmath] i [inlmath]\sqrt{n}[/inlmath] njih mozemo staviti pod jedan ako su i [inlmath]m[/inlmath] i [inlmath]n[/inlmath] nenegativni? Analogno i ako [inlmath]\sqrt{m\cdot n}[/inlmath] zapisemo kao [inlmath]\sqrt{m}\cdot\sqrt{n}[/inlmath]?

Da, u realnom domenu je sve tako kako si napisao.

U vezi s korenovanjem, preporučujem ti ovaj tutorijal.

Ok. Razumeo sam, hvala!
Al kad vec spomenu kompleksne brojeve, da pitam nesto - zašto, na primer, duzine stranica nekog [inlmath]n[/inlmath]-tougla, nikad ne izrazavamo u skupu kompleksnih brojeva?

Clan koji je postavio pitanje na pocetku ove teme je lako mogao naci odgovor u bilo kom udzbeniku u lekciji kompleksnih brojeva. Mislim da su ovo osnovna pravila koja se uce na samom pocetku lekcije iz kompleksnih brojeva. Bilo koji negativan broj pod korenom je uvek taj broj puta [inlmath]i[/inlmath].

DarkoPatic je napisao:Bilo koji negativan broj pod korenom je uvek taj broj puta [inlmath]i[/inlmath].

Ovako se često predaje po školama, ali to je samo delimično tačno.
Napisah već na početku teme, ali evo još jednom – kvadratno korenovanje u kompleksnom domenu daje dve različite vrednosti (izuzev kad korenujemo nulu):
[dispmath]\sqrt{-x^2}=\pm ix\quad(x\in\mathbb{R})[/dispmath] Dakle , [inlmath]\sqrt{-1}=\pm i[/inlmath], [inlmath]\sqrt{-4}=\pm i2[/inlmath], [inlmath]\sqrt{-9}=\pm i3[/inlmath] itd.

U pravu si potpuno za ovo mada iskreno nigde nisu detaljno to objasnili kao ovde na forumu. Profesori u skolama ne obracaju paznju na ovakve stvari a u udzbenicima retko gde ima lepo objasnjeno i onda tako mnogi nauce polovicno.