MATEMANIJA

Pozdrav, poceo sam da radim jedan zadatak iz ove oblasti ali nisam imao ideje kako da dalje nastavim.
[dispmath]|x-1|^{\log_2(4-x)}>|x-1|^{\log_2(1+x)}[/dispmath]
Pronasao sam domen: [inlmath](-1,4)[/inlmath]
Ne znam kako da se oslobodim ovih apsolutnih, tj ako dobijem minus kako bi onda mogao nastaviti diskusiju kad baze nisu iste.
Radio sam da su baze jednake tj. bez apsolutne vrijednosti. Zadatak sam podijelio na dva slucaja kada je:
[dispmath]x-1>1,\quad x>2[/dispmath] Tada se jednacina svodi na [inlmath]\log_2(4-x)>\log_2(1+x)[/inlmath] i dobijam rjesenje [inlmath]x<\frac{3}{2}[/inlmath], koje ne pripada intervalu. A u drugom slucaju kad [inlmath]0<x<1[/inlmath] jednacini se mijenja znak i dobia se rjesenje [inlmath]x>\frac{3}{2}[/inlmath] koje isto ne pripada intervalu. Sada mi preostaje da rijesim drugi slucaj apsolutne ali ne znam kako kada imam [inlmath]-[/inlmath]. Izvinjavam se zbog loseg latexa i ako sam povrijedio neki clan, novi sam na forumu.

DafiMjesalica je napisao:Ne znam kako da se oslobodim ovih apsolutnih, tj ako dobijem minus kako bi onda mogao nastaviti diskusiju kad baze nisu iste

Baze ce u svakom slucaju biti iste, za svako [inlmath]x[/inlmath].
Ja bih zadatak podelio u dva slucaja (donekle si i sam ovo uradio)
[dispmath]1^\circ\hspace{5mm}0<|x-1|<1,\quad\text{okrece se znak}[/dispmath][dispmath]2^\circ\hspace{5mm}|x-1|>1,\quad\text{ne okrece se znak}[/dispmath] U osnovi (bazi) stoji [inlmath]|x-1|[/inlmath], a ne [inlmath]x-1[/inlmath], tako da je pogresno razmatrati slucajeve [inlmath]0<x-1<1[/inlmath] i [inlmath]x-1>1[/inlmath], onako kako si ti poceo.

Hvala na odgovoru, ovo je puno laksa metoda. Ja sam na pocetku mislio rastaviti na 4 slucaja zbog apsolutne, pa sam na kraju skontao da mogu na dva gdje dobijam [inlmath]|x-1|=|x-1|\;\Longrightarrow\;x-1=x-1[/inlmath] ili [inlmath]-(x-1)=-(x-1)[/inlmath] pa kad pomnozim sa [inlmath]-1[/inlmath] dobijam iste baze ali se znak mijenja nakon cega se dobija tacan rezultat.

Frank je napisao:[dispmath]1^\circ\hspace{5mm}0<|x-1|<1,\quad\text{okrece se znak}[/dispmath][dispmath]2^\circ\hspace{5mm}|x-1|>1,\quad\text{ne okrece se znak}[/dispmath]

Da budemo precizni, trebalo bi da stoji
[dispmath]1^\circ\hspace{5mm}0<|x-1|{\color{red}\le}1,\quad\text{okrece se znak}[/dispmath][dispmath]2^\circ\hspace{5mm}|x-1|>1,\quad\text{ne okrece se znak}[/dispmath] kako ne bismo izostavili sasvim moguće slučajeve [inlmath]x=0[/inlmath] i [inlmath]x=2[/inlmath] (mada bi za njih odmah bilo jasno da nejednakost nije tačna, jer bi leva i desna strana, kao stepeni jedinice, morale biti jednake).

---

Inače, ove apsolutne zagrade nas ovde prilično spasavaju, jer da ih kojim slučajem nema, tj. da nejednačina glasi [inlmath](x-1)^{\log_2(4-x)}>(x-1)^{\log_2(1+x)}[/inlmath], imali bismo grdne muke pri određivanju domena – za negativno [inlmath]x-1[/inlmath] eksponenti ne bi smeli biti iracionalni, i ne bi smeli biti racionalni brojevi oblika [inlmath]\frac{2m+1}{2n}[/inlmath] ([inlmath]m,n\in\mathbb{Z}[/inlmath]), jer bismo u tom slučaju imali parno korenovanje negativne veličine, što nije definisano u skupu realnih brojeva. Zato, hvala apsolutnim zagradama.