MATEMANIJA

Pozdrav, potrebna mi je pomoc oko ovog sistema:
Zadatak glasi:
Ukupan broj realnih rjesenja sistema:
[dispmath]-x+y+z=4\\
xz-y=1\\
x^2-y^2-z^2=4[/dispmath] Ako mi mozete objasniti koje metode su najprakticnije u rjesavanju ovakve vrste zadataka?
Unaprijed Hvala
PS: Vjerovatno nisam dobro napisao sistem u Latex-u, pa se izvinjavam

Iz prve jednacine izrazi [inlmath]y[/inlmath], pa potom ga zameni u drugu i trecu jednacinu. Dobices sistem od dve jednacine sa dve nepoznate, sto nije tako tesko resiti. Probaj sam, pa ako zapne, ti javi.
Ako imas resenje napisi ga.

E ovako, uradio sam to kako si naveo:
[dispmath]-x+y+z=4\;\Longrightarrow\;y=4+x-z[/dispmath] sada sam uvrstio u 2. i 3. jednačinu!
[dispmath]xz-(4+x-z)=1\\
x^2-(4+x-z)^2-z^2[/dispmath] E sada, pokušao sam ovo riješiti ali mi ne ide!
Hvala na brzom odgovoru

Uzmes malo i sredis te jednacine
[dispmath]xz-(4+x-z)=1\\
x^2-(4+x-z)^2-z^2=4\\
xz-4-x+z=1\;\Longrightarrow\;x=\frac{5-z}{z-1},\;z\ne1\\
\cancel{x^2}-16-8x-\cancel{x^2}+8z+2xz-z^2-z^2=4[/dispmath] Sad u poslednju jednacinu uvrstis [inlmath]x=\frac{5-z}{z-1}[/inlmath], i kad je resis dobices resenja za [inlmath]z[/inlmath] ([inlmath]z\ne1[/inlmath]), posle toga [inlmath]x[/inlmath] i [inlmath]y[/inlmath] ces lako naci.
Slucaj [inlmath]z=1[/inlmath] moras posebno razmatrati. U pocetni sistem jednacina umesto [inlmath]z[/inlmath] pises [inlmath]1[/inlmath], itd... Za [inlmath]z=1[/inlmath] sistem nema resenje.

Uspio sam! Hvala na pomoći

Pozdrav, zelio bih da se nadovezem na ovu temu. Imam problem sa zadacima istog tipa, sa iste pripremne nastave za ETF BL. Treba rijesiti sistem algebarskih jednacina viseg reda:
[dispmath]\begin{array}{l}
x+y+z=0\\
x^2+y^2+z^2=14\\
xyz=-6
\end{array}[/dispmath] Zadatak sam pokusao na vise nacina izrazavajuci iz trece jednacine ili prve, ali dobiju se previse komplikovani izrazi. Takodje sam imao ideju da idem na dopunu do potpunog kvadrata ali ni ovaj nacin nije imao uspjeha.

Kad kvadriraš prvu jednačinu pa zatim od novodobijene jednačine oduzmeš drugu jednačinu dobija se posle deljenja sa [inlmath]2[/inlmath] jednačina [inlmath]xy+xz+yz=-7[/inlmath]. Kad ovu jednačinu pomnožiš sa [inlmath]z[/inlmath] i od novodobijene jednačine oduzmeš treću jednačinu dobija se [inlmath](x+y)z^2+7z-6=0[/inlmath]. Kako je [inlmath]x+y=-z[/inlmath] imamo da je [inlmath]-z^3+7z-6=0[/inlmath] tj. [inlmath]z^3-7z+6=0[/inlmath]. Pretpostavljam da odavde znaš sam da dođeš do rešenja.

Hvala na pomoci uspio sam rijesiti zadatak, nikad mi ne bih palo napamet da ovu novu jednacinu mnozim sa [inlmath]z[/inlmath].

Mozes i izvrstavanjem [inlmath]z=-(x+y)[/inlmath] u preostale dvije jednacine:
[dispmath]x+y+z=0\\
x^2+y^2+(x+y)^2=14\\
-xy(x+y)=-6[/dispmath] Pa onda:
[dispmath]x+y+z=0\\
(x+y)^2-2xy+(x+y)^2=14\\
xy(x+y)=6[/dispmath] Slijedi:
[dispmath]x+y+z=0\\
(x+y)^2-xy=7\\
xy(x+y)=6[/dispmath] Onda uzmes smjenu
[dispmath]x+y=a;\;xy=b[/dispmath] I poslije nije problem zavrsiti.
Eto jos jedan nacin rjesavanja

Ovaj sistem jednačina je (za razliku od onog prethodnog) karakterističan zbog simetrije nepoznatih, tj. sve tri nepoznate učestvuju potpuno ravnopravno – u prvoj jednačini se sve tri sabiraju, u drugoj se kvadrati svih nepoznatih sabiraju, a u trećoj se sve nepoznate množe.
To znači, one mogu međusobno da menjaju mesta, a da se tačnost jednačina ne promeni.
Zbog toga, kad nađemo skup rešenja za jednu promenljivu, to će takođe biti skup rešenja i za preostale dve promenljive.
Konkretno, opisanim postupcima se dobije da [inlmath]z\in\{-3,2,1\}[/inlmath], a samim tim i [inlmath]x,y,z\in\{-3,2,1\}[/inlmath]. Lako se pokazuje da, uvrštavanjem u sistem, već prva jednačina nije zadovoljena ako sve nepoznate imaju istu od ove tri vrednosti (npr. [inlmath](2,2,2)[/inlmath]). Pokazuje se, takođe, i da već prva jednačina neće biti zadovoljena ako dve promenljive imaju istu vrednost a jedna različitu. Zaključak je da sve tri promenljive moraju imati međusobno različite vrednosti, tj. svaka po jednu vrednost iz skupa [inlmath]\{-3,2,1\}[/inlmath], što znači da će rešenja po [inlmath](x,y,z)[/inlmath] biti svih šest permutacija uređenih trojaka [inlmath](-3,2,1)[/inlmath].
Ovo vrlo bitno skraćuje postupak, jer nakon nalaženja vrednosti za jednu nepoznatu praktično smo završili zadatak – ne moramo posebno tražiti rešenja i za preostale dve nepoznate.