MATEMANIJA

Prvi probni prijemni ispit FON – 11. jun 2017.
13. zadatak

Nejednakost [inlmath]\displaystyle\frac{x^2+(m-5)x+m^2}{m^2+m+1}\le-1[/inlmath], [inlmath]m\in\mathbb{R}[/inlmath], je tacna za bar jednu realnu vrednost [inlmath]x[/inlmath] ako i samo ako [inlmath]m[/inlmath] pripada skupu:

Tacan odgovor je: [inlmath]D\left[-3,1\right][/inlmath]

Razumem da je imenilac uvek veci od nule pa ne utice na samu nejednacinu.

Konkretno imam problem sa odredjivanjem znaka diskriminante, znam da vazi [inlmath]D\ge0[/inlmath] za realna razlicita ili jednaka resenja i [inlmath]D<0[/inlmath], za konjugovano kompleksna resenja. Ako kaze da je nejednakost tacna za bar jednu realnu vrednost [inlmath]x[/inlmath], diskriminanta je veca od nule, jer je u pitanju realno [inlmath]x[/inlmath], zar ne? Ako bi iko mogao da mi pojasni kako bih mogao da odredim znak diskriminante a da mogu to da primenim na drugim zadacima bio bih mu veoma zahvalan!

Prvo da transformišemo nejednakost:
[dispmath]\frac{x^2+(m-5)x+m^2}{m^2+m+1}\le-1[/dispmath][dispmath]\frac{x^2+(m-5)x+2m^2+m+1}{m^2+m+1}\le 0[/dispmath] Kako je imenilac ovog razlomka uvek veći od nule da bi nejednakost bila zadovoljena potrebno je da važi: [inlmath]x^2+(m-5)x+2m^2+m+1\le0[/inlmath]. E sad, s obzirom da je koeficijent uz [inlmath]x^2[/inlmath] veći od nule da bi postojalo bar jedno realno rešenje potrebno je da diskriminanta bude veća od nule ili jednaka nuli. Tako da dobijamo sledeću nejednakost: [inlmath](m-5)^2-4\left(2m^2+m+1\right)\ge0[/inlmath]. Rešavanjem ove poslednje nejednakosti dobija se traženi interval za [inlmath]m[/inlmath].

Hvala ti na pomoci!

Drugi probni prijemni ispit FON – 22. jun 2017.
12. zadatak

Ako je [inlmath]m[/inlmath] realan broj, onda je nejednakost [inlmath]\displaystyle\frac{mx^2-6mx+m-4}{x^2+4x+5}\gt-1[/inlmath] tačna za sve realne vrednosti [inlmath]x[/inlmath] ako i samo ako:
Rešenje: [inlmath]\displaystyle m\in\left(\frac{1}{4},\frac{3}{2}\right)[/inlmath]

Ovo je slican zadatak, mada znam kako se radi, ali nije mi jasno zasto vazi da je [inlmath]D<0[/inlmath], kada zahteva da nejednakost bude tacna za svako realno [inlmath]x[/inlmath]? Zar nije logicno da vazi [inlmath]D\ge0[/inlmath]?

Trebalo bi da ce ti ovaj post razjasniti sve nedoumice.

Ne kapiram i dalje, tu se lepo pominje da je [inlmath]D\ge0[/inlmath] za realna resenja sto ima logike, dok u prilozenom zadatku se govori takodje da nejednacina bude realna za svako [inlmath]x[/inlmath], a zadatak se jasno resava sa [inlmath]D<0[/inlmath]

Ono što tebe, koliko vidim, buni je razlika između diskriminante po [inlmath]x[/inlmath] i diskriminante po parametru [inlmath]m[/inlmath] do koje dolazimo u kasnijem stadijumu rešavanja zadatka.

Druga velika razlika između zadatka koji si postavio i ovog koji si linkovao je da li se traži da nejednačina bude tačna za svaku vrednost [inlmath]x[/inlmath] ili bar za jednu vrednost [inlmath]x[/inlmath].

Dakle, o kom zadatku pričamo, ovome od koga je počela ova tema ili o ovom linkovanom? Jesu slični, ali nisu isti, i baš zbog toga što nisu isti će se i postupak za rešavanje razlikovati.

Pricamo o linkovanom zadatku

Onda to treba da ide u posebnu temu (Tačka 10 Pravilnika)

Prvo posmatramo pod kojim uslovima će [inlmath]x[/inlmath] da bude realno? Samo ako je diskriminanta po [inlmath]x[/inlmath] nenegativna. Dakle, postavljamo to kao uslov. U izrazu za diskriminantu će nam figurisati neki kvadratni izraz po [inlmath]m[/inlmath]. E, sada posmatramo diskriminantu tog izraza po [inlmath]m[/inlmath] i ona treba da nam bude manja od nule. Zašto manja od nule? Zato što to znači da neće postojati realno [inlmath]m[/inlmath] za koje će diskriminanta po [inlmath]x[/inlmath] biti negativna, a samim tim će nejednačina biti tačna za svako realno [inlmath]x[/inlmath].

Dakle, poenta je da se posmatraju dve različite diskriminante, jedna po [inlmath]x[/inlmath] i druga (kasnije) po [inlmath]m[/inlmath].

U linkovanom zadatku neophodno je i dovoljno postaviti uslove [inlmath]D<0[/inlmath] (po [inlmath]x[/inlmath]) i [inlmath]a>0[/inlmath].

Kvadratna funkcija oblika [inlmath]x^2+x+1=y[/inlmath] je pozitivna za svako [inlmath]x\in\mathbb{R}[/inlmath], ali njene nule nisu realne vec konjugovano-kompleksne.

Hvala vam puno momci, skapirao sam

Da malo dopunim ilustracijama Frankovo objašnjenje.
Znači, govorimo o linkovanom zadatku. Nakon sređivanja i uočavanja da je imenilac uvek pozitivan, dobije se [inlmath](m+1)x^2+(4-6m)x+m+1>0[/inlmath]. I traži se da ta nejednakost bude tačna za sve realne vrednosti [inlmath]x[/inlmath].
To, drugim rečima, znači da ceo grafik ove kvadratne funkcije na levoj strani nejednakosti mora biti iznad [inlmath]x[/inlmath]-ose. Nijedan njegov deo ne sme biti na [inlmath]x[/inlmath]-osi (jer bi to značilo da postoji [inlmath]x[/inlmath] za koje je taj izraz jednak nuli), i ne sme biti ispod [inlmath]x[/inlmath]-ose (jer bi to značilo da postoji [inlmath]x[/inlmath] za koje je taj izraz negativan).
Ako je koeficijent uz kvadratni član negativan, onda ovo sigurno ne možemo postići, jer će u svakom slučaju biti delova grafika koji su ispod [inlmath]x[/inlmath]-ose:


Prema tome, očigledno je da ne sme biti [inlmath]a<0[/inlmath], bez obzira na znak diskriminante. Međutim, za [inlmath]a>0[/inlmath] imamo mogućnost da ceo grafik „postavimo“ iznad [inlmath]x[/inlmath]-ose:


Za [inlmath]D>0[/inlmath] (naravno, diskriminanta je po [inlmath]x[/inlmath] i glasi [inlmath]D=(4-6m)^2-4(m+1)(m+1)[/inlmath]) nismo ostvarili to što smo hteli, jer ćemo za [inlmath]x\in(x_1,x_2)[/inlmath] imati deo grafika koji je ispod [inlmath]x[/inlmath]-ose (i za [inlmath]x\in\{x_1,x_2\}[/inlmath] imaćemo i deo grafika na samoj [inlmath]x[/inlmath]-osi).
Za [inlmath]D=0[/inlmath] imaćemo tačku dodira grafika s [inlmath]x[/inlmath]-osom, u toj tački vrednost izraza je jednaka nuli, i opet nismo dobili to što smo tražili da izraz bude pozitivan za svako [inlmath]x[/inlmath].
Međutim, za [inlmath]D<0[/inlmath] nemamo zajedničke tačke grafika i [inlmath]x[/inlmath]-ose, i ceo grafik je iznad [inlmath]x[/inlmath]-ose, što je upravo ono što smo i želeli. Tada je izraz uvek pozitivan, nezavisno od vrednosti [inlmath]x[/inlmath]. Naravno, za [inlmath]a>0[/inlmath].

Zbog toga, kad se traži da kvadratni trinom bude strogo pozitivan za svako realno [inlmath]x[/inlmath], uslov je [inlmath]D<0[/inlmath], [inlmath]a>0[/inlmath] (treći slučaj na donjoj slici).
Da se tražilo da kvadratni trinom bude [inlmath]\ge0[/inlmath] za svako realno [inlmath]x[/inlmath], uslov bi bio [inlmath]D\le0[/inlmath], [inlmath]a>0[/inlmath] (što odgovara drugom i trećem slučaju na donjoj slici).
Da se tražilo da kvadratni trinom bude strogo negativan za svako realno [inlmath]x[/inlmath], uslov bi bio [inlmath]D<0[/inlmath], [inlmath]a<0[/inlmath] (što odgovara trećem slučaju na gornjoj slici).

Naravno, još jednom da napomenem, diskriminanta je po [inlmath]x[/inlmath] (ne po [inlmath]m[/inlmath]) i glasi [inlmath]D=(4-6m)^2-4(m+1)(m+1)[/inlmath]. E sad postavljamo uslove da je [inlmath]a>0[/inlmath] (tj. [inlmath]m+1>0[/inlmath]) i [inlmath]D<0[/inlmath]. Znači, [inlmath](4-6m)^2-4(m+1)(m+1)<0[/inlmath], sređivanjem dolazimo do [inlmath]8m^2-14m+3<0[/inlmath] i sad imamo novu kvadratnu jednačinu, ali ovog puta po [inlmath]m[/inlmath], koju treba rešiti. E sad za nju imamo drugu diskriminantu, i to će sad biti diskriminanta po [inlmath]m[/inlmath]: [inlmath]D=14^2-4\cdot8\cdot3[/inlmath]. Nadam se da je sad jasna razlika između te dve diskriminante – diskriminante po [inlmath]x[/inlmath] i diskriminante po [inlmath]m[/inlmath]. Dok smo za diskriminantu po [inlmath]x[/inlmath] imali uslov [inlmath]D<0[/inlmath], diskriminanta po [inlmath]m[/inlmath] će morati biti [inlmath]\ge0[/inlmath] kako bismo imali rešenja po [inlmath]m[/inlmath] (ako bismo za tu diskriminantu dobili da je negativna, ne bi postojala realna rešenja po [inlmath]m[/inlmath], tj. sam zadatak ne bi imao rešenja).

Šta je sa slučajem [inlmath]a=0[/inlmath]? Tada više ne bismo imali kvadratnu već linearnu funkciju, [inlmath]10x>0[/inlmath], što naravno ne bi bilo ispunjeno za svako realno [inlmath]x[/inlmath].

Ali, šta da je nejednakost glasila [inlmath](m+1)x^2+(4m+4)x+m+2>0[/inlmath]? Šta bi se tada desilo za slučaj [inlmath]a=0[/inlmath] (koeficijent uz kvadratni član je nula)?

Nejednakost bi bila zadovoljena za svako [inlmath]x[/inlmath], realno i nerealno.

Realno i nerealno... e ova ti je dobra...
Da, hteo sam tim primerom da pokažem da se nikako ne sme zanemariti ni slučaj [inlmath]a=0[/inlmath]. Iako nam je prva pomisao na linearnu funkciju ta da ona ide od [inlmath]-\infty[/inlmath] do [inlmath]+\infty[/inlmath], tj. da ne može biti pozitivna za svako realno [inlmath]x[/inlmath], ipak se može desiti da koeficijent uz linearni član bude nula (kao u ovom mom primeru), čime dobijamo konstantnu vrednost (u ovom mom primeru pozitivnu, čime je nejednakost takođe zadovoljena).