MATEMANIJA

Prvi probni prijemni ispit FON (druga grupa) – 13. jun 2020.
11. zadatak

Pozdrav, najpre da se zahvalim svima, posto mi je ovaj forum dosta olaksao spremanje prijemnog ispita!

Kod 11. zadatka je napravljena greska kod obelezavanja tacnog odgovora. Kao tacan odgovor je obelezeno resenje [inlmath]-1[/inlmath], ali kada se ovo [inlmath]m[/inlmath] uvrsti u jednacine, jedna od njih nema resenje u skupu realnih brojeva, dok su oba resenja druge jednacine u skupu realnih brojeva. Tacno resenje je odgovor pod [inlmath]A)[/inlmath], odnosno [inlmath]-2[/inlmath].

Tekst zadatka:
Zbir svih vrednosti parametra [inlmath]m[/inlmath] ([inlmath]m\in\mathbb{R}[/inlmath]), za koje jednačine [inlmath]x^2-mx+1=0[/inlmath] i [inlmath]x^2-x+m=0[/inlmath] imaju bar jedno zajedničko rešenje, jednak je:
[inlmath]A)\;-2;\quad[/inlmath] [inlmath]B)\;-3;\quad[/inlmath] [inlmath]C)\;-1;\quad[/inlmath] [inlmath]D)\;1;\quad[/inlmath] [inlmath]E)\;3.[/inlmath]

Pozdrav! Dobro nam dosao!
Izgleda da ti je promakla prva rec u tekstu zadatka - "Zbir". Uostalom, svi zadaci zajedno sa resenjima su prepisani sa sajta fakulteta.

P.S. Ne znam koliko ova tema spada u ovu rubriku....

Dobrodošlica i od mene.
Naravno, hvala na lepim rečima za forum, a hvala i na postojanju dobre namere da ukažeš na grešku – mada, kako je i Frank objasnio, greške nema, obeležen je ispravan odgovor.
Možda si, @markovl12, prevideo to da se ne traži da te dve jednačine imaju bar jedno zajedničko realno rešenje. Traži se samo da imaju bar jedno zajedničko rešenje, ali to rešenje ne mora biti realno (što bi Frank rekao, može biti i nerealno, jel'da). Za [inlmath]m=-2[/inlmath] zaista se dobije da jednačine imaju po jedno zajedničko realno rešenje (to je rešenje [inlmath]x=-1[/inlmath]), ali postoji još i mogućnost [inlmath]m=1[/inlmath] za koje će jednačine imati dva zajednička rešenja (i to konjugovano-kompleksna). Štaviše – za taj slučaj [inlmath]m=1[/inlmath] te dve jednačine će biti identične (zbog čega i nije čudo što će im rešenja biti zajednička, zar ne).

Frank je napisao:P.S. Ne znam koliko ova tema spada u ovu rubriku....

Kontam da je markovl12 ovo video kao grešku na koju treba ukazati, pa je u tom smislu rubrika „Pitanja, predlozi, zapažanja...“ i bila adekvatno mesto za tako nešto – ali budući da smo ipak ovde razjasnili da greške nema, pomerio sam ovu temu u „Algebru“.

Pozdrav svima, za postavljeni zadatak da li postoje neki uslovi za koje dobijamo [inlmath]m[/inlmath] kao jedno zajedničko rešenje u obe jednačine ili je ovo ipak čistom logikom i nagadjanjem ([inlmath]m=1[/inlmath], [inlmath]m=2[/inlmath], [inlmath]m=-1[/inlmath]...)?

Pozdrav!
Date jednacine mogu imati najvise dva (jer je u pitanju polinom drugog stepena), a najmanje jedno zajednicko resenje. Zadatak mozemo podeliti na dva slucaja:
Jednacine imaju oba zajednicka resenja - Da bi dve kvadratne jednacine imale oba zajednicka resenja moraju biti ispunjeni uslovi
[dispmath]x_1+x_2=x_3+x_4\\
x_1\cdot x_2=x_3\cdot x_4[/dispmath] gde su [inlmath]x_1,x_2[/inlmath] i [inlmath]x_3,x_4[/inlmath] resenja prve, odnosno druge jednacine. Koristeci Vietove veze imamo
[dispmath]m=1\\
1=m[/dispmath] Dakle, sistem je ispunjen za [inlmath]m=1[/inlmath], tj. date jednacine imaju oba zajedicka resenja za [inlmath]m=1[/inlmath]. Sad se vracamo na drugi slucaj:
Jednacine imaju jedno i samo jedno zajednicko resenje - Neka je zajednicko resenje [inlmath]a[/inlmath]. Tada vazi
[dispmath]a^2-ma+1=0\\
a^2-a+m=0[/dispmath] Oduzimanjem druge jednacine od prve imamo
[dispmath]a(1-m)+1-m=0\\
a=-1,\hspace{1.25mm}m\ne1[/dispmath] Ubacivanjem [inlmath]a=-1[/inlmath] u jedno od jednacina sistema lako se nalazi da je [inlmath]m=-2[/inlmath], tj. jednacine imaju jedno i samo jedno zajednicko resenje za [inlmath]m=-2[/inlmath]. Slucaj [inlmath]m=1[/inlmath] je vec razmatran, tako da nema potrebe ponovo raditi isto.