MATEMANIJA

Pozdrav! Imam problem sa sledećim zadatkom:
Za koje vrednosti realnog parametra [inlmath]m[/inlmath] jednačina [inlmath]2x^2-\left(m^3+8m-1\right)x+m^2-4m=0[/inlmath] ima rešenja različitog znaka? (Rešenje: [inlmath]0<m<4[/inlmath])

Pošto su rešenja različitog znaka, njihov proizvod mora biti strogo manji od nule, tj.
[dispmath]x_1x_2<0\\
\frac{m^2-4m}{4}<0[/dispmath] Rešenje nejednačine je [inlmath]m\in(0,4)[/inlmath].
Ono što me muči u ovom zadatku je diskriminanta - Kako su rešenja različitog znaka, sledi da ista (rešenja) moraju biti realna, tj. [inlmath]D\ge0[/inlmath].
[dispmath]D=b^2-4ac\ge0\\
\left(m^3+8m-1\right)^2-8\left(m^2-4m\right)\ge0\\
\left(m^3+8m\right)^2-2m^3-16m+1-8m^2+32m\ge0\\
m^6+16m^4+64m^2-2m^3+16m-8m^2+1\ge0\\
m^6+16m^4-2m^3+56m^2+16m+1\ge0[/dispmath] Ne znam kako da ovu nejednačinu dovedem do kraja. Pokušao sam da celu nejednačinu podelim sa [inlmath]m^2\hspace{0.5mm}(m\ne0)[/inlmath], pa da je, posle sređivanja i uvođenja smene, svedem na kvadratnu. Medjutim, u ovoj nameri nisam uspeo jer se deljenjem cele nejednačine sa [inlmath]m^2[/inlmath] ne dobija ništa korisno, ništa što bi me odvelo do konačnog rešenja. Da se u zadatku, kojim slučajem, traže celobrojne vrednosti parametra [inlmath]m[/inlmath], ne bi bilo nikakvih problema - neposrednom proverom uvideo bih da li neka vrednost iz intervala [inlmath](0,4)[/inlmath] otpada. Ovako, nemam ideju sta dalje treba raditi...
Činjenica da je proizvod dva konjugovano-kompleksna broja uvek realan ne pomaže ništa jer se gleda znak rešenja, a ne znak njihovog proizvoda. Gde je zapravo nastao problem u mom postupku? Hvala!
Na forumu ima baš dosta zadataka koji zahtevaju primenu Vietovih veza, da bi rešenja bila pozitivna/negativna... I pored toga nisam uspeo da nađem ništa što bi mi pomoglo da razumem i rešim zadatak iz ove teme.

Frank je napisao:Činjenica da je proizvod dva konjugovano-kompleksna broja uvek realan ne pomaže ništa jer se gleda znak rešenja, a ne znak njihovog proizvoda.

Pa, hajde da vidimo. Neka imamo dva najopštija konjugovano kompleksna broja, [inlmath]a+ib[/inlmath] i [inlmath]a-ib[/inlmath], ([inlmath]b>0[/inlmath], jer bi u suprotnom brojevi bili realni) i nađimo njihov proizvod:
[dispmath](a+ib)(a-ib)=a^2+b^2>0[/dispmath] Bingo!

Frank je napisao:[dispmath]x_1x_2<0\\
\frac{m^2-4m}{\color{red}4}<0[/dispmath]

Treba [inlmath]\frac{m^2-4m}{2}<0[/inlmath] (mada to ne menja stvar).

Kontam da je proizvod dva konjugovano-kompleksna broja uvek realan broj, ali sama resenja su opet kompleksna, tj. nema svrhe govoriti o njihovom znaku. Ovo sam napisao i u citiranom delu, ali izgleda da nisam bio dovoljno jasan. Nadam se da sada razumes sta hocu da kazem.

Poenta mog odgovora bila je da je proizvod dva konjugovano kompleksna broja ne samo realan, već i pozitivan.

Mislim da ovde ne mozes resiti jednacinu na takav nacin i ukoliko se za trenutak okanemo kompleksnih resenja.
Ono sto bih ja radio jeste da kada si napisao
[dispmath]D=\left(m^3+8m-1\right)^2-8\left(m^2-4m\right)[/dispmath] izvukao bih [inlmath]m[/inlmath] iz druge zagrade i dobio.
[dispmath]D=\left(m^3+8m-1\right)^2-8m(m-4)[/dispmath] E sad ide mala diskusija. Ako znas da ti [inlmath]m\in(0,4)[/inlmath], pogledaj zagradu [inlmath](m-4)[/inlmath] da li se slazes da za koje god [inlmath]m[/inlmath] da izaberes ova zagrada ce biti negativna.
S obzirom da imas [inlmath]8m(m-4)[/inlmath] gde je [inlmath]m>0[/inlmath], broj [inlmath]8[/inlmath] je pozitivan i imas zagradu koja je [inlmath]<0[/inlmath] zakljucujes da je [inlmath](8m(m-4))<0[/inlmath]
Pre svega toga imas [inlmath]-[/inlmath] sto ce zapravo promeniti znak svega i dobices nesto sto je [inlmath]>0[/inlmath]
S obzirom da ti je pre toga kvadrat koji je sigurno [inlmath]\ge0[/inlmath] zakljucujes da ce
[dispmath]D=\left(m^3+8m-1\right)^2-8m(m-4)[/dispmath] uvek zadovoljavati [inlmath]D\ge0[/inlmath]

Pretpostavimo da su [inlmath]2+i\sqrt3[/inlmath] i [inlmath]2-i\sqrt3[/inlmath] rešenja kvadratne jednačine [inlmath]ax^2+bx+c=0[/inlmath]. Iako je proizvod rešenja realan i pozitivan ne možemo reći da su ona (rešenja) razlicitog znaka (a po tekstu zadatka to je neophodan uslov) jer su u pitanju kompleksni brojevi.

Ali, ako si već postavio uslov da je proizvod rešenja negativan (a jesi postavio taj uslov), zar nisi samim tim uslovom eliminisao mogućnost da rešenja budu konjugovano kompleksna (i samim tim njihov proizvod bude pozitivan)?
Hoću da kažem, postavljanjem uslova da je proizvod rešenja negativan, automatski postavljaš uslov i da su rešenja realna (a bogami i različita).

Tačan je i postupak koji je Emotivac pokazao, ali hteo sam da ukažem na ovaj elegantniji način.

Upravo nađoh temu u kojoj je baš bilo reči o ovom o čemu pričam sve vreme.

Da, da... Nisam dovoljno uključio mozgić... Sve vreme mi je u glavi bio znak [inlmath]>(x_1x_2>0)[/inlmath]. Ali šta je tu je, najbitnije je da je sada zadatak u potpunosti jasan.
Hvala puno obojici!

Nema na čemu. Nego, prevideh jedan tvoj previd,

Frank je napisao:Kako su rešenja različitog znaka, sledi da ista (rešenja) moraju biti realna, tj. [inlmath]D\ge0[/inlmath].

Ako su rešenja različitog znaka, logično je da moraju biti različita, zar ne? To znači da diskriminanta ne sme biti nula, tj. ne sme se pisati [inlmath]D\ge0[/inlmath], već isključivo [inlmath]D>0[/inlmath].
(To za slučaj da radimo preko diskriminante, a ovde smo videli da nam ista nije potrebna.)