Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica OSTALE MATEMATIČKE OBLASTI ALGEBRA

Broj realnih resenja jednacine – probni prijemni ETF 2020.

[inlmath]a^2-b^2=\left(a+b\right)\left(a-b\right)[/inlmath]

Broj realnih resenja jednacine – probni prijemni ETF 2020.

Postod Emotivac » Subota, 20. Jun 2020, 21:19

Probni prijemni ispit ETF – 20. jun 2020.
10. zadatak


Pozdravi svima,

Broj realnih resenja jednacine
[dispmath]6x^2+7x\sqrt{x+1}=24(x+1)[/dispmath] Resenje je [inlmath]\enclose{circle}{2}[/inlmath]
Prvo sam napisao da [inlmath]x\in(-1,+\infty][/inlmath] i uveo smenu [inlmath]\enclose{box}{t=\sqrt{x+1}}\;\Longrightarrow\;x=t^2-1[/inlmath] i naravno [inlmath]t\in[0,+\infty)[/inlmath]
Zamenjivanjem dobijam
[dispmath]6\left(t^2-1\right)^2+7\left(t^2-1\right)t=24\left(t^2-1+1\right)\\
6\left(t^4-2t^2+1\right)+7t^3-7t=24t^2\\
6t^4-12t^2+6+7t^3-7t-24t^2=0\\
6t^4+7t^3-36t^2-7t+6=0[/dispmath] Nabadanjem dobijem da je jedna nula [inlmath]t=2[/inlmath] i dalje deljenjem polinoma sa [inlmath]t-2[/inlmath] dobijam jos jednu nulu [inlmath]t=-3[/inlmath] i nakon ponovnog deljenja dolazim do jos 2 nule [inlmath]t=\frac{1}{3}[/inlmath], [inlmath]t=-\frac{1}{2}[/inlmath].
S obzirom na to da je
[dispmath]t\ge0[/dispmath] imamo resenja [inlmath]t=\frac{1}{3}\;\land\;t=2[/inlmath]
Vracanjem smene dobijam
[dispmath]\frac{1}{3}=\sqrt{x+1}\;\land\;2=\sqrt{x+1}[/dispmath] Kvadriram
[dispmath]\frac{1}{9}=x+1\;\land\;4=x+1\\
\enclose{box}{x=-\frac{8}{9}}\;\land\;\enclose{box}{x=3}[/dispmath]
Ovde sam dobio 2 razlicita resenja koja zadovoljavaju uslove.
Moze li mi neko reci da li je postupak dobar i da li zadaci ovakvog tipa smeju ovako da se rade, hvala unapred.
Korisnikov avatar
 
Postovi: 26
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 12 puta
Pohvaljen: 24 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+

Re: Broj realnih resenja jednacine – probni prijemni ETF 2020.

Postod Daniel » Subota, 20. Jun 2020, 22:32

Dobar je postupak, imaš samo jednu grešku ovde,
Emotivac je napisao:Prvo sam napisao da [inlmath]x\in(-1,+\infty][/inlmath]

treba obrnuto, tj. [inlmath]x\in[-1,+\infty)[/inlmath] (kod beskonačnosti se inače nikad i ne stavlja zatvorena već isključivo otvorena granica).
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 9300
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5151 puta
Pohvaljen: 4951 puta

  • +1

Re: Broj realnih resenja jednacine – probni prijemni ETF 2020.

Postod DaKažem » Utorak, 23. Jun 2020, 11:10

Moja primedba ne utiče mnogo na rešenje, možda cepidlačim ali DaKažem
umesto
[dispmath]t=\frac{1}{3}\;\land\;t=2[/dispmath] treba sa stoji
[dispmath]t=\frac{1}{3}\;\lor\;t=2[/dispmath] Možda se to mnogima čini nebitno.



Kad sam već ovde dao bih svoj predlog rešenja.

Naravno, zbog korena, dopustivi skup rešenja date jednačine je [inlmath]x\ge-1[/inlmath]. Jednačina se može transformisati na sledeći način
[dispmath]6x^2+7x\sqrt{x+1}=24(x+1)\iff 6x^2+7x\sqrt{x+1}-24\left(\sqrt{x+1}\right)^2=0[/dispmath] Radi preglednosti, uvedimo zamenu: [inlmath]x=a,\;\sqrt{x+1}=b[/inlmath]. Sada data jednačina postaje
[dispmath]6a^2+7ab-24b^2=0\iff 6a^2+16ab-9ab-24b^2=0\\
2a(3a+8b)-3b(3a+8b)=0\iff(3a+8b)(2a-3b)=0[/dispmath] Po povratku iz zamene dobija se
[dispmath]\left(3x+8\sqrt{x+1}\right)\left(2x-3\sqrt{x+1}\right)=0\hspace{3mm}\iff\hspace{3mm}3x+8\sqrt{x+1}=0\hspace{3mm}\lor\hspace{3mm}2x-3\sqrt{x+1}=0\hspace{3mm}\iff\\
\iff\hspace{3mm}3x=-8\sqrt{x+1}\hspace{3mm}\lor\hspace{3mm}2x=3\sqrt{x+1}[/dispmath] Posle kvadriranja (uz navedene uslove) dobija se
[dispmath]\left(9x^2-64x-64=0\hspace{1mm}\land\hspace{1mm}x<0\right)\hspace{3mm}\lor\hspace{3mm}\left(4x^2-9x-9=0\hspace{1mm}\land\hspace{1mm}x>0\right)[/dispmath] Obe dobijene kvadratne jednačine imaju realna rešenja (jer su im diskriminante pozitivne), različitog znaka (jer je [inlmath]x_1x_2=\frac{c}{a}<0[/inlmath]) ali se prihvata samo po jedno u oba disjunkta. Na kraju krajeva možete i rešiti dobijene kvadratne jednačine.
Dakle, polazna jednačina ima dva realna rešenja.
 
Postovi: 10
Zahvalio se: 16 puta
Pohvaljen: 5 puta

  • +1

Re: Broj realnih resenja jednacine – probni prijemni ETF 2020.

Postod Daniel » Utorak, 23. Jun 2020, 12:18

DaKažem je napisao:Moja primedba ne utiče mnogo na rešenje, možda cepidlačim ali DaKažem
umesto
[dispmath]t=\frac{1}{3}\;\land\;t=2[/dispmath] treba sa stoji
[dispmath]t=\frac{1}{3}\;\lor\;t=2[/dispmath] Možda se to mnogima čini nebitno.

Sasvim si u pravu, meni je to promaklo, a i te kako je bitno.

DaKažem je napisao:Kad sam već ovde dao bih svoj predlog rešenja.

Odlična ideja. :thumbup: Već kad si došao do ovog koraka,
DaKažem je napisao:[dispmath]6a^2+7ab-24b^2=0[/dispmath]

bila je jasna ideja, mada to sad možemo rešiti i tako što obe strane podelimo sa [inlmath]b^2[/inlmath] (uz uslov, naravno, da je [inlmath]b\ne0[/inlmath], dok slučaj [inlmath]b=0[/inlmath] posebno ispitujemo i zaključujemo da on nema rešenja), čime dobijemo kvadratnu po [inlmath]\frac{a}{b}[/inlmath] (ili, ako je nekom lakše, može smena [inlmath]\frac{a}{b}=t[/inlmath] pa kvadratna po [inlmath]t[/inlmath]).

DaKažem je napisao:Obe dobijene kvadratne jednačine imaju realna rešenja (jer su im diskriminante pozitivne), različitog znaka (jer je [inlmath]x_1x_2=\frac{c}{a}<0[/inlmath])

Ne moramo ni proveravati diskriminantu, jer već iz [inlmath]x_1x_2=\frac{c}{a}<0)[/inlmath] jasno je da su rešenja realna i različita (videti ovaj nedavni i ovaj davni post).
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 9300
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5151 puta
Pohvaljen: 4951 puta

Re: Broj realnih resenja jednacine – probni prijemni ETF 2020.

Postod DaKažem » Utorak, 23. Jun 2020, 14:51

Daniel je napisao:Odlična ideja. :thumbup: Već kad si došao do ovog koraka,
DaKažem je napisao:[dispmath]6a^2+7ab-24b^2=0[/dispmath]

bila je jasna ideja, mada to sad možemo rešiti i tako što obe strane podelimo sa [inlmath]b^2[/inlmath] (uz uslov, naravno, da je [inlmath]b\ne0[/inlmath], dok slučaj [inlmath]b=0[/inlmath] posebno ispitujemo i zaključujemo da on nema rešenja), čime dobijemo kvadratnu po [inlmath]\frac{a}{b}[/inlmath] (ili, ako je nekom lakše, može smena [inlmath]\frac{a}{b}=t[/inlmath] pa kvadratna po [inlmath]t[/inlmath])..

Da, tako je. Rešava se kao i svaka homogena jednačina po [inlmath]a[/inlmath] i [inlmath]b[/inlmath], ali nisam hteo da uvodim nove pojmove. Možda je nekome i ovo komplikovano.
 
Postovi: 10
Zahvalio se: 16 puta
Pohvaljen: 5 puta


Povratak na ALGEBRA

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 55 gostiju


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Petak, 29. Mart 2024, 14:48 • Sva vremena su u UTC + 1 sat
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs