Probni prijemni ispit ETF – 20. jun 2020.
10. zadatak
Pozdravi svima,
Broj realnih resenja jednacine
[dispmath]6x^2+7x\sqrt{x+1}=24(x+1)[/dispmath] Resenje je [inlmath]\enclose{circle}{2}[/inlmath]
Prvo sam napisao da [inlmath]x\in(-1,+\infty][/inlmath] i uveo smenu [inlmath]\enclose{box}{t=\sqrt{x+1}}\;\Longrightarrow\;x=t^2-1[/inlmath] i naravno [inlmath]t\in[0,+\infty)[/inlmath]
Zamenjivanjem dobijam
[dispmath]6\left(t^2-1\right)^2+7\left(t^2-1\right)t=24\left(t^2-1+1\right)\\
6\left(t^4-2t^2+1\right)+7t^3-7t=24t^2\\
6t^4-12t^2+6+7t^3-7t-24t^2=0\\
6t^4+7t^3-36t^2-7t+6=0[/dispmath] Nabadanjem dobijem da je jedna nula [inlmath]t=2[/inlmath] i dalje deljenjem polinoma sa [inlmath]t-2[/inlmath] dobijam jos jednu nulu [inlmath]t=-3[/inlmath] i nakon ponovnog deljenja dolazim do jos 2 nule [inlmath]t=\frac{1}{3}[/inlmath], [inlmath]t=-\frac{1}{2}[/inlmath].
S obzirom na to da je
[dispmath]t\ge0[/dispmath] imamo resenja [inlmath]t=\frac{1}{3}\;\land\;t=2[/inlmath]
Vracanjem smene dobijam
[dispmath]\frac{1}{3}=\sqrt{x+1}\;\land\;2=\sqrt{x+1}[/dispmath] Kvadriram
[dispmath]\frac{1}{9}=x+1\;\land\;4=x+1\\
\enclose{box}{x=-\frac{8}{9}}\;\land\;\enclose{box}{x=3}[/dispmath]
Ovde sam dobio 2 razlicita resenja koja zadovoljavaju uslove.
Moze li mi neko reci da li je postupak dobar i da li zadaci ovakvog tipa smeju ovako da se rade, hvala unapred.