MATEMANIJA

Prijemni ispit FON – 7. septembar 2017.
10. zadatak

10. Skup svih realnih rešenja nejednačine
[dispmath]4^\frac{x+1}{x}-17\cdot2^\frac{1}{x}+4\ge0[/dispmath] Dobijem dva resenja [inlmath]\frac{1}{2}[/inlmath] i [inlmath]\frac{-1}{2}[/inlmath]. Skup resenja je [inlmath]\displaystyle\left[-\frac{1}{2},0\right)\cup\left(0,\frac{1}{2}\right][/inlmath] pa me buni koji uslov jos postoji sa nulom i zasto?

Za koje realne vrednosti [inlmath]x[/inlmath] su izrazi [inlmath]\frac{x+1}{x}[/inlmath] i [inlmath]\frac{1}{x}[/inlmath] definisani?

Kada je [inlmath]x[/inlmath] nenegativno?

Oba navedena izraza su definisana za svako realno [inlmath]x[/inlmath] osim za [inlmath]x=0[/inlmath] jer deljenje sa nulom nije definisano. Zato se u konačnom rešenju nejednačine [inlmath]0[/inlmath] isključuje.

Ivana125 je napisao:Kada je [inlmath]x[/inlmath] nenegativno?

Šta dobiješ kad u te izraze uvrstiš npr. [inlmath]x=-1[/inlmath] (ili bilo koju negativnu vrednost)? Dobiješ li izraz koji nije definisan?

Ivana125 je napisao:Dobijem dva resenja [inlmath]\frac{1}{2}[/inlmath] i [inlmath]\frac{-1}{2}[/inlmath]. Skup resenja je [inlmath]\displaystyle\left[-\frac{1}{2},0\right)\cup\left(0,\frac{1}{2}\right][/inlmath] pa me buni koji uslov jos postoji sa nulom i zasto?

Da li si dobila resenja [inlmath]x\in\left[-\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right][/inlmath] pa je problem sto [inlmath]0[/inlmath] ne upada?

Ja mislim da je ovde problem vracanje smene nazad a ne oblast definisanosti.

Ja sam dobila [inlmath]\displaystyle\left(-\infty,-\frac{1}{2}\right]\cup\left[\frac{1}{2},+\infty\right)[/inlmath] pa me je bunilo zasto se nula iskljucuje ali mi je sada jasno. Hvala svima

Tako sam i mislio lose si vratila smenu, ukoliko si dobro uradila trebala si dobiti da ti smena [inlmath]t=2^\frac{1}{x}[/inlmath] pripada intnervalu [inlmath]t\in\left(0,\frac{1}{4}\right]\cup[4,+\infty)[/inlmath] jer [inlmath]t[/inlmath] ne moze biti [inlmath]<0[/inlmath] niti [inlmath]0[/inlmath] zato sto je smena eksponencijalna jednacina.

Posveticu se samo intervalu [inlmath][4,+\infty)[/inlmath] drugi pokusaj sama.

Naime 90% ucenika uradi lepo da je za [inlmath]t=4[/inlmath] lako resivo i dobija se [inlmath]x=\frac{1}{2}[/inlmath]
Ali ono sto nikako i nikad u matematici ne smes da radis jeste da olako shvatis ovo [inlmath]+\infty[/inlmath]
Verovatno si po automatizmu napisala da [inlmath]x\in\left[\frac{1}{2},+\infty\right)[/inlmath]

Pazi ovo
[dispmath]t=+\infty[/dispmath][dispmath]2^\frac{1}{x}=+\infty[/dispmath][dispmath]\frac{1}{x}=+\infty[/dispmath][dispmath]\enclose{box}{x=0}[/dispmath] I zapravo su resenja u tom intervalu [inlmath]x\in\left(0,\frac{1}{2}\right][/inlmath]

Pokusaj sama da uradis za [inlmath]t\in\left(0,\frac{1}{4}\right][/inlmath]. Ako ne ide pomoci cu ti opet.

Ivana125 je napisao:Ja sam dobila [inlmath]\displaystyle\left(-\infty,-\frac{1}{2}\right]\cup\left[\frac{1}{2},+\infty\right)[/inlmath] pa me je bunilo zasto se nula iskljucuje ali mi je sada jasno. Hvala svima

Ti u ovom intervalu uopste ne obuhvatas [inlmath]0[/inlmath], skroz si obrnula znak resenja.

Hvala ti sto si mi skrenuo paznju na to, uvek sam to zanemarivala. Ali ne razumem zasto [inlmath]t_2\in\left(0,\frac{1}{4}\right][/inlmath] a ne [inlmath]t_2\in\left(-\infty,\frac{1}{4}\right][/inlmath]

Sad vidim da pise da [inlmath]t[/inlmath] mora biti pozitivno. Razumem hvala puno